משוואות דיפרנציאליות חלקיות/מיון משוואות

ניתן למיין משוואות חלקיות לפי תכונות בסיסיות כגון סדר ולינאריות, אך במדעים נהוג למיין לפי משמעות פיזיקלית. שני ההיבטים יוצגו בהמשך.

תכונות יסודיות

נהוג למיין משוואות חלקיות לפי:

1. סדר. רוב המשוואות החלקיות במדע הן מסדר 2 (משוואות הרמוניות) או מסדר 4 (משוואות בי-הרמוניות).
2. לינאריות. משוואה חלקית היא לינארית אם מתקיימת לינאריות בפונקציה הנעלמת ובנגזרותיה. לדוגמה, המשואה $\cos (y)u_x+e^{xy}{u}_{y}y=xu+y^{-2}$ היא לינארית, אבל המשוואות ה"פשוטות" $u{u}_{xx}+u_{yy}=0;u_x=u_y^2$ אינן לינאריות.
   1. קווזי-לינאריות. משואה קוזי-לינארית היא משואה שבה הנגזרות מסדר נמוך אינן לינאריות, אך כל הנגזרות מסדר גבוה כן לינאריות, לדוגמה $u{u}_x{u}_y+u_{xx}+u_{yy}=0$ היא קוזי-לינארית.
   2. סמי-לינאריות. משוואה סמי-לינארית היא לא לינארית אך ורק בפונקציה הנעלמת, לדוגמה, $u_t+u_{xx}=u^8$.

אופרטורים לינאריים

אופרטור דיפרנציאלי לינארי מקיים את התכונות של אופרטור לינארי:

$L[au(\overrightarrow{x})+bv(\overrightarrow{x})]=aL[u(\overrightarrow{x})]+bL[v(\overrightarrow{x})]$

כאשר a,b סקלרים ו-u,v פונקציות מרובות משתנים.

גרדיאנט

הגרדיאנט הוא נגזרת בכיוון המשופע ביותר. לפונקציה בשלושה משתנים,

$\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}u(x,y,z)=u_x\hat{x}+u_y\hat{y}+u_z\hat{z}$

אופרטור לפלס

הלפלסיאן Δ הוא אופרטור נפוץ מאוד באנליזה דיפרנציאלית. במקרה של שלושה משתנים,

$\mathrm{\Delta }={\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}}^2=\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial z^2}$

פתרון u של משוואת לפלס $\mathrm{\Delta }u=0$ נקרא פונקציה הרמונית.

משוואת לפלס אי-הומוגנית נקראת משוואת פואסון:

$\mathrm{\Delta }u=f$

משמעות פיזיקלית

סקירה קצרה זו נועדה לשם התרשמות כללית. פירוט של כל בעיה יופיע בפרקים הבאים של הספר.

משוואת החום

משוואת החום מתארת את שינוי הטמפרטורה u של חומר עם מקדם הולכה k, כפונקציה של זמן. תבנית:תזכורת

$u_t-k\mathrm{\Delta }u=0$

משוואת הגלים

משוואת הגלים מתארת התפשטות של גל במשרעת u ובמהירות c. תבנית:תזכורת

$u_{tt}-c^2\mathrm{\Delta }u=0$

תנודות של מיתר

תנודות של מיתר חד-מימדי סופי עם קצוות נייחים.

במקרה החד-מימדי,

$u_{tt}-c^2{u}_{xx}=0$

משוואות Navier-Stokes

משוואות NS מתארות את הפילוג של המהירות, הצפיפות והלחץ של שדה הזרימה של זורם בעל צמיגות קינמטית ν. תבנית:תזכורת

$\{\begin{array}{c}{\rho }_t+\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\cdot (\rho \overrightarrow{u})=0\\ {\overrightarrow{u}}_t+(\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{\mathrm{\nabla }})\overrightarrow{u}=-\frac{1}{\rho }\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}p+\nu {\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}}^{2}u+\overrightarrow{g}\\ p=f(\rho )\end{array}$

משוואת שרדינגר

$i\hslash \frac{\partial \psi }{\partial t}=-\frac{\hslash }{2m}\mathrm{\Delta }\psi +V\psi$

משוואות נוספות

משוואת המשטח המינימלי

$(1+u_y^2)u_{xx}-2u_x{u}_y{u}_{xy}+(1+u_x^2)u_{yy}=0$

משוואת Tricomi

$u_{xx}+x{u}_{yy}=0$