מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/טכניקות אלגבריות פשוטות/טכניקות של פישוט/נוסחת השורשים

המשוואה

נוסחת השורשים היא נוסחא לפתרון משוואה ריבועית: $a x^{2} + b x + c = 0$

מציבים את ה- $a, b$ וה- $c$ בנוסחא:

x_{1, 2} = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}

צריך לפרק את הביטוי $12 x^{2} - 20 x - 25$ לגורמים מהצורה $a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ . נמצא את השורשים $x_{1}, x_{2}$ :

\begin{matrix} x_{1, 2} & = \frac{20 \pm \sqrt{2 0^{2} - 4 \cdot 12 \cdot (- 25)}}{2 \cdot 12} \\ = \frac{20 \pm \sqrt{1600}}{24} \\ = \frac{20 \pm 40}{24} \end{matrix}

מכאן:

x_{1} = \frac{20 + 40}{24} = \frac{5}{2}, x_{2} = \frac{20 - 40}{24} = - \frac{5}{6}

ומקבלים:

12 x^{2} - 20 x - 25 = 12 (x - \frac{5}{2}) (x + \frac{5}{6})

ניתן להגיע לתוצאה יפה יותר אם נעלים את השברים. ניתן לפרק את ה-12 לגורמים 6 ו-2 אז נקבל:

\begin{matrix} 12 x^{2} - 20 x - 25 & = 2 \cdot 6 \cdot (x - \frac{5}{2}) (x + \frac{5}{6}) \\ = (2 x - 2 \cdot \frac{5}{2}) (6 x + 6 \cdot \frac{5}{6}) \\ = (2 x - 5) (6 x + 5) \end{matrix}

בכדי לראות כמה פתרונות יש למשוואה ריבועית מסויימת יש לחשב את הדיסקרימיננטה. דיסקרימיננטה היא הביטוי שתחת השורש ומסומן באות היוונית דלתא:

Δ = b^{2} - 4 a c

אם $Δ > 0$ - יש שני פתרונות למשוואה

אם $Δ = 0$ - יש פתרון אחד למשוואה

אם $Δ < 0$ - אין פתרון למשוואה