מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/מספרים מרוכבים/הגדרת המספרים המרוכבים/תרגילים

שאלות

פתרון משוואות בעזרת מספרים מרוכבים

פתרו את המשוואות הבאות:

1. $x^2+16=0$
2. $x^2-4x+20=0$
3. $10x^2+2x+1=0$
4. $x^2+x+1=0$
5. $x^3-3x^2+4x=0$
6. $x^4-1=0$
7. $x^4+5x^2+6=0$
8. $x^3-1=0$

חזקות של $i$

חשבו את המספרים הבאים (החזירו את התשובה הפשוטה ביותר שאתם מסוגלים):

1. $i^{109}$
2. $-i^{15}$
3. $(-i{)}^{77}$
4. $(\sqrt{2}i{)}^8$
5. $(i^{12}+i^{32}-i^{52}{)}^{537}$
6. $(i^{27}-i^{13}{)}^5$
7. $(i+i^2+i^3+\dots +i^{40}{)}^{120}$

פתרונות

פתרון משוואות בעזרת מספרים מרוכבים

תשובות סופיות

1. $x_{1,2}=\pm 4i$
2. $x_{1,2}=2\pm 4i$
3. $x_{1,2}=-\frac{1}{10}\pm \frac{3}{10}i$
4. $x_{1,2}=\frac{-1\pm \sqrt{3}i}{2}$
5. $x_1=0,x_{2,3}=\frac{3\pm \sqrt{7}i}{2}$
6. $x_{1,2}=\pm 1,x_{3,4}=\pm i$
7. $x_{1,2}=\pm \sqrt{3}i,x_{3,4}=\pm \sqrt{2}i$
8. $x_1=1,x_{2,3}=\frac{-1\pm \sqrt{3}i}{2}$

הסבר

• שאלות 1-4 מתבססות על שימוש סטנדרטי בנוסחה לפתרון משוואה ריבועית, כאשר הפעם הדיסקרמיננטה שתתקבל תהיה שלילית ויש להוציא את השורש שלה באמצעות שימוש במספרים מרוכבים.
• בשאלה 5 אחד הפתרונות הוא 0 (כי אין מקדם חופשי), וניתן לחלק ב-x כדי לקבל משוואה ריבועית עבור הפתרונות הנותרים.
• בשאלה 6 כדאי לשים לב שמתקיים $x^4-1=(x^2-1)(x^2+1)$ ואז ניתן לפתור שתי משוואות ריבועיות שונות כדי לקבל את כל התוצאות.
• בשאלה 7 נסמן $t=x^2$ , נפתור את המשוואה הריבועית שתתקבל $t^2+5t+6$ ונוציא שורש מהתוצאות.
• בשאלה 8 נשים לב ש- $x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$ ולכן פתרון אחד נתון מיידית על-ידי $x=1$ והשאר על-ידי שאלה 4.

חזקות של $i$

תשובות סופיות

1. $i$
2. $i$
3. $-i$
4. $16$
5. $1$
6. $-32i$
7. $0$

הסבר

• בשאלות 1-4 הפתרון נובע משימוש מיידי בחוקי החזקות ובכך ש- $i^4=1$ . למשל: $i^{109}=i^{108}\cdot i=(i^4{)}^{27}\cdot i=1^{27}\cdot i=i$ .
• בשאלות 5-7 מספיק להביא כל אחד מהאברים בסכום לצורה פשוטה יותר כדי לקבל שהסכום בסוגריים יהפוך לאיבר בודד, ועליו קל להפעיל את פעולת החזקה.