מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/מספרים מרוכבים/הוצאת שורשים ומשוואות ריבועיות

מתוך testwiki
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

עד עתה למדנו כיצד לבצע פעולות חשבון בסיסיות במספרים מרוכבים ואנו מסוגלים לפתור משוואות ממעלה ראשונה בהם. שיטת הפתרון של משוואות ריבועיות דומה לפתרון של משוואות ריבועיות במספרים ממשיים, בהבדל אחד: הדיסקרמיננטה שנקבל עשויה להיות מספר מרוכב, ולכן כדי לקבל את הפתרון נצטרך להיות מסוגלים להוציא שורש למספר מרוכב. נלמד כעת כיצד ניתן לבצע זאת.

הוצאת שורשים

בכדי להוציא שורש למספר מדומה עלינו לעלות בשנייה את התרגיל במקום להוציא שורש.


תבנית:מבנה תבנית


פתרון משוואות ריבועיות

כעת נראה דוגמא לפתרון משוואה ריבועית. באופן כללי הרעיון זהה לרעיון של פתרון משוואות ריבועיות במספרים ממשיים: אם az2+bz+c=0 היא המשוואה, אז שני הפתרונות נתונים על-ידי:

z1,2=−b±b2−4ac2a

כל המקדמים (a,b,c) יכולים להיות מספרים מרוכבים, ולכן לצורך הפתרון נזדקק לכל מה שלמדנו עד עתה: חיבור, חיסור, כפל, חילוק והוצאת שורש.

נפתור את המשוואה הריבועיות z2+(1+2i)z−2−2i

במקרה זה:

a=1 , b=1+2i , c=−(2+2i)

הדיסקרימיננטה היא:

b2−4ac=(1+2i)2+4(2+2i)=1+4i−4+8+8i=5+12i

וכבר ראינו כי 5+12i=±(3+2i) . לכן נקבל:

z1,2=−1−2i±(3+2i)2 ונקבל את שני הפתרונות:

z1=1 , z2=(−2−2i)


תבנית:תרגיל

נוסחאות וייטה

ייתכן כי כבר נתקלתם בנוסחאות וייטה בחקירת משוואות ריבועיות במספרים ממשיים. הן תקפות גם עבור מספרים מרוכבים, ונראה זאת כאן.

נוסחאות וייטה עוסקות בצורה של סכום ומכפלה של שני הפתרונות של משוואה ריבועית. מסתבר שכדי לדעת את הסכום והמכפלה די לדעת את מקדמי המשוואה. נראה זאת.

תהא az2+bz+c משוואה ריבועית. על-פי הנוסחה הכללית לפתרון המשוואה, שני הפתרונות הם:

z1=−b+b2−4ac2a , z2=−b−b2−4ac2a

ולכן:

z1+z2=−b+b2−4ac−b−b2−4ac2a=−2b2a=−ba

z1⋅z2=(−b+b2−4ac)(−b−b2−4ac)4a2=b2−b2+4ac4a2=4ac4a2=ca

קיבלנו את שתי נוסחאות וייטה:

  1. z1+z2=−ba
  2. z1⋅z2=ca

תבנית:תוכן

אוחזר מתוך "https://he.wikibooks.beta.math.wmflabs.org/w/index.php?title=מתמטיקה_תיכונית/אלגברה_תיכונית/מספרים_מרוכבים/הוצאת_שורשים_ומשוואות_ריבועיות&oldid=31"