מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/מספרים מרוכבים/הוצאת שורשים ומשוואות ריבועיות/תרגילים

מתוך testwiki
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

שאלות

משוואות ריבועיות

  1. z2−8z+17=0
  2. z2−2z+26=0
  3. 2z2−8z+10=0
  4. z2+(1−i)z−i=0
  5. z2−(3+2i)z+1+3i=0
  6. z2−iz−9+3i=0
  7. z2+iz+6=0
  8. z2+(1−2i)z−7−i=0

נוסחאות וייטה

  1. בנה משוואה ריבועית מתוקנת (כלומר, שמתקיים בה a=1) ששורשיה הם z1=2i,z2=i−1 .
  2. בנה משוואה ריבועית מתוקנת ששורשיה הם z1=3+2i,z2=i−4 .
  3. z1,z2 הם פתרונות המשוואה 13z2−8z+2=0 . חשב את z1+z2z1⋅z2 .
  4. z1,z2 הם פתרונות המשוואה z2−(3+2i)z+2i=0 . מצא משוואה ששורשיה הם z1+z2,z1⋅z2 (אין צורך לחשב ישירות את השורשים).
  5. z1,z2 הם פתרונות המשוואה z2−(4+2i)z+2=0 . מצא משוואה ששורשיה הם 1z1,1z2 (אין צורך לחשב ישירות את השורשים).
  6. הוכח כי אם z1,z2 הם שני מספרים מרוכבים שאחד מהם לא ממשי שעבורם z1+z2,z1⋅z2 הם מספרים ממשיים, אז z1=z2‾ כלומר שני המספרים צמודים זה לזה. מכאן הסק כי אם למשוואה ריבועית שכל מקדמיה ממשיים יש שורש לא ממשי, גם השורש השני אינו ממשי ושני השורשים צמודים זה לזה.

תשובות

משוואות ריבועיות

  1. z1,2=4±i
  2. z1,2=1±5i
  3. z1,2=2±i
  4. z1=−1,z2=i
  5. z1=1+i,z2=2+i
  6. z1=3,z2=−3+i
  7. z1=2i,z2=−3i
  8. z1=2+i,z2=−3+i

נוסחאות וייטה

  1. z2+(1−3i)z−2(1+i)=0
  2. z2+(1−3i)z−(14+5i)=0
  3. 2
  4. z2−(3+4i)z+(6i−4)=0
  5. 2z2−(4+2i)z+1=0
  6. נסמן z1=a+bi,z2=c+di ונניח כי z2 הוא המספר שידוע שאינו ממשי, כלומר d≠0 . כיון ש- z1+z2=(a+c)+(b+d)i הוא מספר ממשי החלק המדומה שלו שווה לאפס, כלומר b+d=0 ולכן b=−d .
כעת, z1⋅z2=(ac−bd)+(ad+bc)i גם הוא מספר ממשי ולכן ad+bc=0 , ואם נציב את b מהמשוואה הקודמת נקבל ad−cd=0 .
קיבלנו כי ad=cd . כיון שנתון לנו שהמספר z2 אינם ממשיים אז d≠0 ולכן ניתן לחלק בו ולקבל a=c .
כלומר, קיבלנו כי z1=a+bi ואילו z2=c+di=a−bi=z1‾ .
אם יש לנו משוואה ריבועיות שכל מקדמיה ממשיים ויש לה שורש לא ממשי z1 , נשים לב כי z1+z2,z1⋅z2 חייבים להיות מספרים ממשיים בגלל נוסחאות וייטה.
על פי מה שהראינו קודם, אם z1+z2,z1⋅z2 ממשיים אז z1=z2‾, ובכך סיימנו את ההוכחה.
אוחזר מתוך "https://he.wikibooks.beta.math.wmflabs.org/w/index.php?title=מתמטיקה_תיכונית/אלגברה_תיכונית/מספרים_מרוכבים/הוצאת_שורשים_ומשוואות_ריבועיות/תרגילים&oldid=32"