מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/מספרים מרוכבים/המישור המרוכב וההצגה הקוטבית

ההצגה הקוטבית/פולרית/טריגונומטרית

ישנה דרך נוספת להציג מספר מרוכב על מישור. מישור זה נקרא "המישור של גאוס" והוא למעשה מישור המונח על צירי מעגל היחידה. אם נחבר נקודה עם קו ישר (רדיוס) אל ראשית הצירים נקבל זווית (ארגומנט) הנוצרת בין הרדיוס לציר ה-$x$ עם כיוון השעון. באופן כזה מוצגת הנקודה בהצגה הקוטבית כך, $(r,\theta )$

נציג את המספר המרוכב $z=a+bi$ באמצעות ייצוג טריגונומטרי של $x,y$ :

$y=r*sin\theta$ וה-$x=r*cos\theta$.

מאחר שהנקודה שלנו נמצאת על מעגל היחידה יש לה מספר זוויות המתאימות לה. לדוגמה אם המספר המרוכב מתאים ל-$\frac{\pi }{3}$ אז גם כל הזוויות $\frac{\pi }{3}+2\pi k$ ולכן הייצוג הנכון לערכי ה-$x,y$ הינם $y=r*sin\theta$ ו-$x=r*cos\theta$.

אם כן הייצוג הטריגונומטרי של המספר המרוכב הינו $z=r*[(cos\theta +2\pi k),i(sin(\theta +2\pi k)]$ (לעיתים מקצרים וכותבים $z=r*cis\theta +2\pi k)$)

מאחר שערך הרדיוס מייצג מרחק בערך קבוע $r=\sqrt{a^2+b^2}$ ערכו בייצוג זה תמיד חיובי.

ערך הארגומנט

ערך הזווית $tan\theta =\frac{b}{a}$ יכול בתחום $0\le \theta \le 2\pi$ לקבל שתי זוויות. את הזוויות הנכונה קובעים לפי הרביע בו נמצאת הנקודה.

• $a,b>0$ - רביע ראשון ($[0^{\circ },90^{\circ }]$).
• $a<0,b>0$ - רביע שני ($[90^{\circ },180^{\circ }]$).
• $a,b<0$ - רביע שלישי ($[180^{\circ },270^{\circ }]$).
• $a>0,b<0$ - רביע רביעי ($[270^{\circ },360^{\circ }]$).

1. כאשר $a=0,b\ne 0$ הביטוי $\frac{b}{a}$ אינו מוגדר.
2. כאשר הישר כלפי מעלה $a=0b>0$ הישר שלנו הוא אנכי ולכן הזויות שהוא יוצר היא של $90^{\circ }$
3. כאשר $a=0b<0$ הזווית היא $270^{\circ }$.
4. במקרה שבו גם $a=0$ וגם $b=0$ נהוג להותיר את הזוית בלתי-מוגדרת.

תבנית:להשלים דוגמה למעבר מקרטזית לטריגונומטרית ולהפך.