מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/מספרים מרוכבים/משפט דה-מואבר

משפט דה-מואבר

משפט דה-מואבר הוא משפט כללי המציג נוסחה כללית לכלל המספרים המרוכבים המועלים בחזקה. לפיו $(r(cos\theta +isin\theta ){)}^n=r^n(cosn\theta +isinn\theta$

הוכחה

נוכיח באינדוקציה מתמטית. עבור $n=1,2$ ניתן להוכיח בקלות מהגדרות ההצגה הקוטבית וכפל המרוכבים.

נניח נכונות עבור $n=k$ , ונבדוק נכונות עבור $n=k+1$ :

$$\begin{array}{cc}{z}^k=\left[r\right(\cos (\theta )+\sin (\theta )i){]}^k& =r^k[\cos (k\theta )+\sin (k\theta )i]\\ z^{k+1}=\left[r\right(\cos (\theta )+\sin (\theta )i){]}^{k+1}& =r^{k+1}(\cos (\theta )+\sin (\theta )i{)}^{k+1}\\ & =r^{k+1}(\cos (\theta )+\sin (\theta )i{)}^k(\cos (\theta )+\sin (\theta )i)\\ & =r^{k+1}(\cos (k\theta )+\sin (k\theta )i)(\cos (\theta )+\sin (\theta )i)\\ & =r^{k+1}(\cos (k\theta +\theta )+\sin (k\theta +\theta )i)\\ & =r^{k+1}[\cos ((k+1)\theta )+\sin ((k+1)\theta \left)i\right]\end{array}$$

בשורה הרביעית השתמשנו בהנחת האינדוקציה מן השורה הראשונה, ובחמישית בכפל המרוכבים הנ"ל. $◼$

נראה כעת את נכונות המשפט עבור $n<0$ . נשים לב כי אם $n<0$ אז $n=-k$ כאשר $k>0$ .

לכן ניתן לכתוב: $z^n=z^{-k}=(z^{-1}{)}^k={\left(\frac{1}{z}\right)}^k$

את הנוסחה עבור $\frac{1}{z}$ כבר מצאנו בחלק הקודם. לכן נשתמש בה ובמשפט דה-מואבר עבור מספרים גדולים מאפס, ונקבל:

${\left(\frac{1}{z}\right)}^k={(\frac{1}{r}(\cos (-\theta )+i\sin (-\theta )))}^k=\frac{1}{r^k}(\cos (-k\theta )+i\sin (-k\theta ))=r^n(\cos (n\theta )+i\sin (n\theta ))$