מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/מספרים מרוכבים/שורשי היחידה

$z^3=1$

בפרק זה נלמד על פתרונות המשוואה $z^n=1$ ובכדי להבין את הרעיון העומד מאחוריהם נבחן את המשוואה מסדר $z^n=3$

נציג את המספרים במשוואה $z^3=1$ באמצעות הצגה קוטבית:

$z=r(cos(\theta +isin\theta )$

$1=1+0i=1(cos0+isin0)$ (הנקודה $(1,0)$)

נציב ונקבל $r^3(cos(\theta +isin\theta {)}^3=1(cos0+isin0)$

אם שני מספרים מרוכבים שווים אז הערך המוחלט (הרדיוס) שלהם שווה והם נבדלים בגדלי הארגומנטים. זה בדיוק המצב שעומד לפניו לכן נוכל לטעון כי:

$r\ge 0r^3=1$

$3\theta =0+2\pi k$ כלומר $\theta =\frac{0+2\pi k}{3}$

נציב ערכים ונמצא את הזוויות העונות למשוואה

6	$5$	$4$	$3$	$2$	$1$	$0$	$k$
$4\pi$	$\frac{10}{3}\pi$	$\frac{8}{3}\pi$	$2\pi$	$\frac{4}{3}\pi$	$\frac{2}{3}\pi$	$0$	$\theta$

הפתרונות הינן :