מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/סדרות/סדרות חשבוניות

הגדרה

סדרה חשבונית היא רצף של מספרים ( $a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4} . . .$ ) שלהם הפרש ( $d$ ) קבוע. למשל:

$1, 2, 3, \dots$ היא סדרה חשבונית שאיברה הראשון ( $a_{1}$ ) הוא $1$ וההפרש בה הוא גם $1$ .
$4, 4, 4, \dots$ היא סדרה חשבונית שאיברה הראשון ( $a_{1}$ ) הוא $4$ וההפרש בה הוא 0.
$2, 5, 8, \dots$ היא סדרה חשבונית שאיברה הראשון ( $a_{1}$ ) הוא $2$ וההפרש בה הוא 3.

סדרה עולה ויורדת

סדרה עולה - סדרה לה הפרש חיובי.
סדרה יורדת - סדרה לה הפרש שלילי.

אברי הסדרה

בשל הגדרת הסדרה החשבונית נוכל לבטא את רצף האיברים גם כך: $a_{3} = a_{1} + 2 d$ , $a_{4} = a_{1} + 3 d$ , $a_{2} = a_{1} + d$ וכן הלאה.

כל אברי הסדרה, פרט לראשון שווים לממוצע של שני האברים הסמוכים לו, למשל אם נחשב את האיבר השני בדומה הראשונה לעיל נבצע $\frac{a_{1} + a_{3}}{2}$ ונקבל $\frac{1 + 3}{2} = \frac{4}{2} = 2$

האיבר הכללי

"האיבר הכללי" הוא למעשה תבנית שבאמצעותה ניתן לגלות את מספרי הסדרה על ידי הצבה מיקום המספר ( $n$ ) המבוקש בסדרה (דהיינו אם הוא $a_{1}$ נציב $n = 1$ וכן הלאה).

נוסחת האיבר הכללי: $a_{n} = a_{1} + (n - 1) d$ (הוכחה)

לפי הנוסחא אם ידועים לנו $d$ ו- $a_{1}$ של סדרה נוכל למצוא את איבר הכללי

תבנית:מבנה תבנית

נוסחת הנסיגה

נוסחת נסיגה היא נוסחה שמגדירה סדרת איברים באופן רקורסיבי, לדוגמה בסדרה חשבונית $F_{n + 1} = F_{n} + F_{n - 1}$ .

תבנית:מבנה תבנית

מספרים טבעים

תרגיל

מצא כמה מספרים טבעיים תלת ספרתיים אינם מתחלקים ב-11 ללא שארית

נושא

סדרות - מספר טבעי

פתרונות

ההפרש בין האיברים הוא 11

המספר התלת ספרתי הראשון שמתחלק ב-11 ללא שארית הוא $a_{1} = 110$ .

המספר התלת ספרתי האחרון שמתחלק ב-11 ללא שארית הוא $a n = 990$ .

נשתמש בנוסחה: $a_{n} = a_{1} + (n - 1) d$

$\begin{matrix} 990 = 110 + (n - 1) 11 \\ 880 = 11 n - 11 \\ 891 = 11 n \\ n = 81 \end{matrix}$

נמצא את כמות המספרים התלת ספרתיים בין 100-999 ונקבל $a_{1} = 100, a_{n} = 990$ .

נציב בנוסחה הכללית ונקבל $999 = 100 + (n - 1) 1$ כלומר $n = 900$

מאחר שישנם 900 מספרים תלת ספרתיים ויש 81 מספרים תלת ספרתיים המתחלקים ב-11 ללא שארית נקבל כי קיימים $900 - 81 = 819$ לא מתחלקים ב-11

מציאת אברים סמוכים

תרגיל

בתרגילים הבאים מופיעים שלושה איברים סמוכים של סדרה חשבונית. מצא את x ואת האיברים $2 x + 3, 4 x + x^{2}, 4 x^{2} - x$

נושא

סדרה - איברים סמוכים

פתרונות

סכום האיבר הנמצא בין שני אברים סמוכים הינו

a_{n + 1} = \frac{a_{n} + a_{n + 2}}{2}

על כן נייצר משוואה :

$4 x + x^{2} = \frac{2 x + 3 + 4 x^{2} - x}{2}$

$8 x + 2 x^{2} = 2 x + 3 + 4 x^{2} - x$

$0 = 2 x^{2} - 7 x + 3$

$\frac{7 \pm \sqrt{49 - 4 * 3 * 2}}{2 * 2}$

$\frac{7 \pm 5}{2 * 2}$

$x_{1}, 2 = \frac{7 \pm 5}{2 * 2}$

$x_{1} = 3, x_{2} = \frac{1}{2}$

נציב ב- $2 x + 3, 4 x + x^{2}, 4 x^{2} - x$ את הנעלמים ונקבל:

$9, 21, 33$ או $4, 2 \frac{1}{4}, \frac{1}{2}$

מציאת אברים חיובים או שלילים

תרגיל

נתונה הסדרה החשבונית $163, 160, 157 . . . - 83$

כמה איברים חיוביים ישנם בסדרה?
מצא את האיבר החיובי הקטן ביותר בסדרה.
כמה איברים שליליים ישנם בסדרה?
מצא את האיבר השלילי הגדול ביותר בסדרה.

נושא

סדרות

פתרונות

$a_{1} = 163$

$d = 160 - 163 = - 3$

עתה ברצוננו לגלות את מיקום האיבר הקטן ביותר הקרוב לאפס. בכדי לעשות זאת נניח כי ערכו של אותו איבר שווה $a_{n} = 0$

נציב בנוסחה הכללית : $a_{n} = a_{1} + (n - 1) d$

$0 = 163 + (n - 1) - 3$

$0 = 163 - 3 n + 3$

$3 n = 166$

$n = 55 \frac{1}{3}$

דהינו מיקום האיבר הקטן ביותר הוא 55 (מיקום חייב להיות מספר טבעי). כלומר קיימים 55 איברים חיובים בסדרה.

סעיף ב': עתה נמצא את ערכו המדויק:

$a_{n} = a_{1} + (n - 1) d$

$a_{5} 5 = 163 + (55 - 1) - 3 = 163 - 162 = 1$

סעיף ג': עתה נתבונן בחלק $1 . . . - 86$

נחשב את מספר האיברים הקיימים בניהם על מנת למצוא כמה איברים שלילים בסדרה ולכן נתייחס אל האיבר החיובי הקטן ביותר כ- $a_{1} = 1$

האיבר האחרון הוא $- 86$ על כן

$- 86 = 1 + (n - 1) - 3$

$- 86 = 1 - 3 n + 3$

$- 90 = - 3 n$

$n = 30$

אבל $1$ אינו שלילי ולכן נוריד אותו בספרה ולכן מספר האיברים השלילים הוא 29.

סעיף ד: האיבר השלילי הגדול ביותר בסדרה הוא האיבר אחרי $1$ לכן נוסיף לו $d$ ונקבל $1 - 3 = - 2$

בעיה מחיי היום יום

טוען את הטאבים...

תרגיל

במפעל למאווררים מכרו בכל שבוע מספר קבוע של מאוורים יותר מאשר בשבוע הקודם לו. בשלושת השבועות הראשונים מכרו 360 מאווררים. בשבוע החמישי מכרו 180 מאווררים.

כמה מאוורים מכרו בשבוע העשירי?
באיזה שבוע מכרו 400 מאווררים?

נושא

סדרות

פתרונות

כל שבוע הוא איבר בסדרה. $\begin{matrix} a_{1} + a_{2} + a_{3} = 360 \\ a_{5} = 180 \end{matrix}$

נבטא את האיברים באמצעות האיבר הראשון $\begin{matrix} a_{1} + a_{1} + d + a_{1} + 2 d = 360 \\ a_{1} + 4 d = 180 \\ - - - - \\ a_{1} + d = 120 \\ a_{1} + 4 d = 180 \\ - - - - d = 20 \\ a_{1} = 120 - 20 = 100 \end{matrix}$

נמצא את האיבר העשירי

$a_{10} = a_{1} + 9 d = 100 + 180 = 280$

נמצא את מקום האיבר שערכו $a_{n} = 400$

$a n = 100 + (n - 1) 20 = 80 + 20$

נשווה ונקבל $400 = 80 + 20 n$ נקבל $n = 16$

1

הוסף קטגוריה מתאימה בהתאם לשם הפרק ושם הספר.

תבנית:תוכן

מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/סדרות/סדרות חשבוניות

תוכן עניינים

הגדרה

סדרה עולה ויורדת

אברי הסדרה

האיבר הכללי

נוסחת הנסיגה

מספרים טבעים

מציאת אברים סמוכים

מציאת אברים חיובים או שלילים

בעיה מחיי היום יום

תפריט ניווט

מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/סדרות/סדרות חשבוניות

הגדרה

סדרה עולה ויורדת

אברי הסדרה

האיבר הכללי

נוסחת הנסיגה

מספרים טבעים

מציאת אברים סמוכים

מציאת אברים חיובים או שלילים

בעיה מחיי היום יום

תפריט ניווט

חיפוש