מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/קומבינטוריקה/צירופים/בחירה ללא חשיבות לסדר וללא החזרה

הגדרה

תבנית:טענה

נשם לב לדימיון אל הנוסחה עם חשיבות לסדר וללא החזרה: $\frac{n!}{(n - k)!}$

מאחר שאין אנו רוצים לספור את האפשרויות החוזרות על עצמן עלינו לחלק ב- $k!$ איברים.

צירופים

תבנית:מבנה תבנית

הנוסחה למציאת צירופים: $\frac{n!}{k! (n - k)!}$ (כאשר 0< $k$ ).

$n$ מייצג את סך כל האיברים.
$k$ מייצג את מספר האיברים אותם אנו רוצים לבחור

בשל חשיבותו יש לו סימון יחודי

(\binom{n}{k}) = \frac{n!}{k! (n - k)!} = \frac{n (n - 1) (n - 2) . . . (n - k + 1) (n - k) (n - k - 1) * . . . * 3 * 2 * 1}{k! (n - k) (n - k - 1) (n - k - 2) * . . . * 3 * 2 * 1} = \frac{n (n - 1) (n - 2) . . . (n - k + 1)}{k!}

והוא מכונה מקדם בינומי.

נשים לב כי מיידית מהגדרתו נובע כי $(\binom{n}{k}) = (\binom{n}{n - k})$ .

תבנית:הוכחה

תבנית:תרגיל תבנית:תרגיל

דוגמה לחלוקת קלפים במשחק ברידג'

בעיה

במשחק ברידג' ישנם ארבעה שחקנים המסומנים כצפון, דרום, מזרח ומערב וכל שני כיוונים מנוגדים מהווים זוג. כל אחד מהשחקנים מקבל 13 קלפים מתוך חבילה בת 52 קלפים. כמה אפשרויות לחלוקת הקלפים קיימות:

ללא הגבלה.
במקרה שבו כל ארבעת האסים נמצאים אצל שחקן אחד.
במקרה שבו לאחד הזוגות רק קלפים אדומים ולזוג השני רק קלפים שחורים (מכל סוג ישנם 26 קלפים).

פתרון

1. אנחנו בוחרים 13 קלפים מתוך 52 עבור צפון, 13 קלפים מבין 39 הנותרים עבור מזרח, וכן הלאה. נקבל שמספר האפשרויות הוא: $(\binom{52}{13}) (\binom{39}{13}) (\binom{26}{13}) (\binom{13}{13}) = \frac{52!}{13! \cdot 39!} \cdot \frac{39!}{13! \cdot 26!} \cdot \frac{26!}{13! \cdot 13!} \cdot \frac{13!}{13! \cdot 1!} = \frac{52!}{(13!)^{4}}$ .תבנית:ש מכיון שמספר האפשרויות שקיבלנו הוא אדיר לא נכתוב אותו במפורש.

2. ראשית עלינו לבחור את השחקן שאצלו יהיו כל ארבעת האסים: $(\binom{4}{1}) = 4$ . כעת עלינו לבחור עוד 9 קלפים עבורו מבין הקלפים שנותרו: $(\binom{48}{9})$ . כעת עלינו לבחור קלפים כרגיל עבור שאר השחקנים. באמצעות עקרון הכפל נקבל שהתשובה היא: $4 \cdot (\binom{48}{9}) (\binom{39}{13}) (\binom{26}{13}) (\binom{13}{13}) = 4 \cdot \frac{48!}{9! \cdot 39!} \cdot \frac{39!}{(13!)^{3}} = 4 \cdot \frac{48!}{9! (13!)^{3}}$

3. ראשית עלינו לבחור לאיזה זוג יהיו הקלפים האדומים: $(\binom{2}{1}) = 2$ . כעת עלינו לחלק לו את הקלפים הללו, כלומר לבחור 13 מתוך 26 קלפים לשחקן הראשון, ולתת את הנותרים לשחקן השני. נקבל: $(\binom{26}{13}) (\binom{13}{13}) = \frac{26!}{13! 13!} \frac{13!}{13! 1!} = \frac{26!}{(13!)^{2}}$ . יש לחלק גם את הקלפים השחורים לזוג השני, ובגלל שהבעיה סימטרית מספר האפשרויות זהה. לכן התוצאה הסופית היא $2 \cdot {(\frac{26!}{13!^{2}})}^{2}$ .

מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/קומבינטוריקה/צירופים/בחירה ללא חשיבות לסדר וללא החזרה

תוכן עניינים

הגדרה

צירופים

דוגמה לחלוקת קלפים במשחק ברידג'

בעיה

פתרון

תפריט ניווט

מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/קומבינטוריקה/צירופים/בחירה ללא חשיבות לסדר וללא החזרה

הגדרה

צירופים

דוגמה לחלוקת קלפים במשחק ברידג'

בעיה

פתרון

תפריט ניווט

חיפוש