מתמטיקה תיכונית/גיאומטריה אוקלידית/משפטים בגאומטריה/מעגלים/זוית הקפית במעגל

הסבר

הוכחה

תיאור התמונה

נתון:

• $AOB=\omega$ זווית מרכזית במעגל.
• $\mathrm{\angle }ACB$ זווית הקפית במעגל

צ"ל:

• $\mathrm{\angle }ACB=\frac{\mathrm{\angle }AOB}{2}$

הוכחה:

• $AO=OB=OC=r$
• $\mathrm{△}AOB,\mathrm{△}BOC$ משו"ש
• $\mathrm{\angle }OBC=\mathrm{\angle }OCB$, $\mathrm{\angle }OAB=\mathrm{\angle }OBA$ זוויות הבסיס שוות זו לזו.
• $\mathrm{\angle }OAB=\mathrm{\angle }OBA=\frac{180-\omega }{2}$ זוויות במשולש שוות 180 מעלות
• $\mathrm{△}COB=180^{\circ }-\omega$ זווית שטוחה שווה 180 מעלות
• $\mathrm{\angle }OBC=\mathrm{\angle }OCB=\frac{180-(180-\omega )}{2}=\frac{\omega }{2}$