מתמטיקה תיכונית/הנדסה אנליטית/המעגל/תנאי ההשקה של ישר למעגל

משוואה כללית

היחס בין מעגל ($(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$) ולישר ($Ax+By+C=0$) תלוי במרחק של הישר ממרכז המעגל כלומר מגודלו הרדיוס.

אנו מתעניינים בתנאי ההשקה בלבד ולכן נוכל לטעון כי הישר $Ax+By+C=0$ משיק למעגל $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$ כאשר ${\mathrm{\Delta }}_{\text{circle from line}}=\frac{|Aa+Bb+c|}{\sqrt{A^2+B^2}}=R$.

המצב	תיאור	פתרון המשוואה
נחתכים	מרחק הישר ממרכז המעגל קטן מהרדיוס	${\mathrm{\Delta }}_{\text{circle from line}}=\frac{|Aa+Bb+c|}{\sqrt{A^2+B^2}}<R$
משיקים	מרחק הישר ממרכז המעגל שווה לרדיוס המעגל	${\mathrm{\Delta }}_{\text{circle from line}}=\frac{|Aa+Bb+c|}{\sqrt{A^2+B^2}}=R$
זרים	מרחק הישר ממרכז המעגל גדול מרדיוס המעגל	${\mathrm{\Delta }}_{\text{circle from line}}=\frac{|Aa+Bb+c|}{\sqrt{A^2+B^2}}>R$

משוואה מפורשת

נציב במנוסחה שקבלנו את המשוואה המפורשת של הישר $y=mx+n$ על ידי הפיכתה למשוואה כללית $y-mx-n=0$

נקבל כי הישר $y=mx+n$ משיק למעגל כאשר $\frac{|-ma+b-n|}{\sqrt{m^2+1}}=R$

נפטר מהמכנה $|-ma+b-n|=R*\sqrt{m^2+1}$ נעלה בשנייה ונקבל את תנאי ההשקה של הישר למעגל: $(-ma+b-n{)}^2=R^2(m^2+1)$

במקרה של מעגל קנוני, כלומר נציב את הערכים $(0,0)$ במשוואה $(-m*0+0-n{)}^2=R^2(m^2+1)$ ונקבל $n^2=R^2(m^2+1)$