מתמטיקה תיכונית/הנדסה אנליטית/ישר/מרחק נקודה מישר

המרחק של נקודה $(x_0,y_0)$ מישר $l:Ax+By+C=0$ הוא גודל האנך המחבר את הנקודה לישר : $d=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$

במידה ומשוואת הישר הינה מפורשת $y=mx+n$ המרחק בין הישר לנקודה $(x_0,y_0)$ הינו $d=\frac{|-m{x}_0+y_0-n|}{\sqrt{m^2+1}}$. אין צורך לזכור את הנוסחה הזו מאחר שניתן להגיע אליה באמצעות הפיכת המשוואה המפורשת $y=mx+n$ לכללית $y-mx-n=0$.

תבנית:מבנה תבנית

הוכחה

נעביר דרך הנקודה $(x_0,y_0)$ ישר $l1$ המקביל לישר שלנו $l:Ax+By+C=0$ (על מנת להוריד אנך בין שני הישירים).

במידה ומשוואת הישר היא מפורשת $y=mx+n$ מרחק הישר מהנקודה

נמצא את שיפוע הישר החדש $l1$: מאחר ששני הישירים מקבילים זה לזה השיפועים שלהם זהים.

נמצא את השיפוע לישר $l$ באמצעות מציאת המשוואה המפורשת של $Ax+By+C=0$. נעביר את אגפים ונקבל $y+C=\frac{-A}{B}x+C$

נמצא משוואת הישר החדש באמצעות השיפוע והנקודה $(x_0,y_0)$ דרכה הוא עובר ונקבל $l_1:y-y_0=-\frac{A}{B}(x-x_0)$

נמצא את משוואת הישר החדש הכללית :

$\begin{array}{c}{l}_1:y-y_0=-\frac{A}{B}(x-x_0)\\ By-B{y}_0=-Ax+A{x}_0\\ Ax+By-(A{x}_0+B{y}_0)=0\\ \end{array}$

נמצא את המרחק בין שני ישרים ונקבל $d=\frac{|-(A{x}_0+B{y}_0)-C|}{\sqrt{A^2+B^2}}=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$