מתמטיקה תיכונית/חשבון אינטגרלי/מציאת הפונקציה באמצעות נקודה או שיפוע

מציאת פונקציה באמצעות נגזרת ואו נקודה

הקדמה

בתום פעולת האינטגרציה, אנו מקבלים "תבנית" המתאימה למספר פונקציות המקיימות את הנגזרת הנתונה. המשתנה C הוא הנעלם החסר בכדי לגלות את הפונקציה הקדומה. באמצעות נתון נוסף: נקודה, נגזרת, שיפוע ועוד נוכל להקיש נתונים ולגלות את הפונקציה הקדומה. בפרק זה, נשתדל להציג מגוון נתונים המסייעים לנו בגילוי הפונקציה, באמצעות אינטגרציה.

אינטגרל ונקודה

מצא את הפונקציה העוברת דרך הנקודה $(3,36)$ והנגזרת שלה היא $f(x)=x^2+3$.

נבצע אינטגרציה:

$\begin{array}{cc}& \int f(x)\\ & \int (x^2+3)dx\\ & \frac{x^3}{3}+3x+C\\ \end{array}$

אם הפונקציה עוברת דרך הנקודה $(3,36)$ - הנקודה צריכה לקיים את המשוואה ולכן, נציב את הנקודה במשוואה ונמצא את נעלם $C$:

$\begin{array}{cc}& 36=\frac{3^3}{3}+3\cdot 3+C\\ & 36=9+9+C/-18\\ & C=18\\ & \downarrow \\ & \frac{x^3}{3}+3x+18\\ \end{array}$

אינטגרל ונקודת קיצון

מצא את הפונקציה שהנגזרת שלה $f(x)=2x+4$ והערך המינימלי שלה הוא $5$.

נבצע אינטגרציה:

$\begin{array}{cc}& \int f(x)\\ & \int (2x+4)dx\\ & \frac{2x^2}{2}+4x+C\\ & x^2+4x+C\\ \end{array}$

נמצא נקודת קיצון:

$\begin{array}{cc}& f(x)=2x+4\\ & 2x+4=0\\ & 2x=4\\ & x=2\\ \end{array}$

כאשר לפונקציה יש נקודת קיצון $x=2$, הערך המינימלי שלה (ציר ה- $y$) שווה ל-$5$, כלומר $g(2)=5$ נציב במשוואה:

$\begin{array}{cc}& x^2+4x+C=5\\ & x=2\\ & 2^2+4\cdot 2+C=5\\ & 12+C=5\\ & C=-7\\ & \downarrow \\ & x^2+4x-7\\ \end{array}$

אינטגרל ושיפוע

הנגזרת של פונקציה היא קו ישר ששיפועו $3$. לפונקציה יש נקודת מינימום $(2,3)$. מצא את הפונקציה.

• נבטא את הפונקציה השניה (נגזרת): $f(x)=3x+n$.
• לפונקציה נקודת מינמום כאשר $x=2$. כלומר, $f^{\prime }(2)=0$