מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/פונקציה רציונלית ושורש

נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{a\sqrt{x+3}}{x^2}+5,a\ne 0$ מהו תחום ההגדרה של הפונקציה? מהן האסימפטוטות המקבילות לצירים של הפונקציה? האם קיים ערך של שעבורו יש לפונקציה נקודות קיצון פנימיות? אם כן תן דוגמה. אם לא נמק. נתון גם ש-$a$ מצא את תחומי עלייה וירידה ושרטט סקיצה של גרף הפונקציה. נתונה הפונקציה $g(x)=|f(x)-8|$ שרטט את גרף הפונקציה $g(x)$

תחום ההגדרה $x^2\ne 0$ וגם $x+3\ge 0$ ולכן $x>-3,x\ne 0$ האסימפטוטה אנכית: $x=0$ אסימפטוטה אופקית: החזקה הגדולה נמצאת במונה ולכן על פי החוקים נקבל $f(x)=0+5=5$ נקודת חיתוך אסימפטוטה אופקית עם הפונקציה: $\frac{a\sqrt{x+3}}{x^2}+5=5$ נצמצם: $\frac{a\sqrt{x+3}}{x^2}=0$ נפתר מהמונה:$a\sqrt{x+3}=0$ נעלה בחזקה: $a^2(x+3)=0$ נקבל:$a^{2}x+3a^2=0$ נצמצם ונקבל: $x=-3$ דהינו האסימפטוטה והפונקציה נחתכות בנקודה $(-3,5)$ נגזור את הפונקציה: הפונקציה לפנינו היא פונקציה רציונאלית מורכבת עם שורש על כן תחילה נגזור כל פונקציה בנפרד ולאחר מכן נאחד פתרונות. נגזרת לפונקציה במונה : $g(x{)}^{\prime }=\frac{a}{2\sqrt{x+3}}$ נגזרת לפונקציה במכנה : $h(x{)}^{\prime }=2x$ נקיים את החוקים לפונקציה רציונאלית ונקבל $f(x{)}^{\prime }=\frac{\frac{a}{2\sqrt{x+3}}*x^2-2x*a\sqrt{x+3}}{x^4}$ נמצא מכנה משותף: $f(x{)}^{\prime }=\frac{a{x}^2-4xa(x+3)}{x^4}$ נפתח סוגריים: $f(x{)}^{\prime }=\frac{a{x}^2-4x^{2}a-12xa}{x^4}$ נכס אברים:$f(x{)}^{\prime }=\frac{-3x^{2}a-12xa}{x^4}$ נוציא גורם משותף: $f(x{)}^{\prime }=\frac{x(-3xa-12a)}{x^4}$ נשווה את הנגזרת לאפס: $xa(-3x-12)=0$ נקבל $xa=0$ וגם $-3x-12=0$ (דהיינו $x=-4$ אבל פתרון זה מתבטל בגלל תחום ההגדרה!) על פי הפתרונות אין לנעלם $a=0$ השפעה על ערך ה-$x$ ולכן אין נקודות קיצון עם ביטוי זה. נבדוק תחומי עלייה וירידה על ידי הצבה: נקודות קיצון והגבולות (תחום הגדרה ואסימפטוטות) 1 0 -2 -3 x - אין + נקודת קצה y' יורדת אסימפטוטה עולה קצה y תחום עליה : $-3\le x<0$ תחום ירידה: $x>0$ נשרטט גרף: עם ציר ה-X ששווה ל-5 ומהנקודה -3 נוציא אסימפטוטה עד ציר ה-Y לאחר מכן מצדו הימיני נרד. נשרטט גרף לפונקציה: הפונקציה החדשה שקבלנו היא הפונקציה שלנו + ערך C חופשי. ניתן להתייחס לפונקציה שלנו כאילו הייתה פרבולה. ברגע שמוסיפים ערף C לפרבולה היא עולה או יורדת על הצירים. במקרה שלנו הוסיפו מינוס ולכן היא יורדת -8. מאחר שהפונקציה מתחילה ב-5 נוריד אותה אל -3. השרטוט יראה בדיוק אותו שרטוט.