מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/פונקצית הערך המוחלט

הגדרת הערך המוחלט

בערך זה נדון על הגרף של פונקציה עם ערך מוחלט, $y=|f(x)|$. בפרק המשוואה של ערך מוחלט הגדרנו את הערך המוחלט :

$|x|=\{\begin{array}{cc}x,& \text{if }x\ge 0\\ -x,& \text{if }x<0\end{array}$

פונקציה $y=|x|$

נצייר את הפונקציה $y=|x|$ באמצעות טבלה:

$2$	$1$	$0$	$-1$	$-2$	$x$
$2$	$1$	$0$	$1$	$2$	$y$

תכונות הפונקציה $y=|x|$

1. מוגדרת לכל $x$
2. פונקציה זוגית מפני $|x|=|-x|$
3. תחומי עליה: $x>0$ ותחומי ירידה: $x<0$

אי גזירות הפונקציה

הפונקציה $f(x)=|x|$ אינה גזירה בנקודה $x=0$

נציב בנוסחת הגבולות בנקודה בה $x\to x_1$ ונקבל $f(x)=li{m}_{x\to x_1}\frac{f(x)-f(x_1)}{x-x_1}$

כאשר $x_1\to 0^{+}$ מצדו הימין נקבל: $f(x)=li{m}_{x\to 0^{+}}\frac{|x|-|0|}{x-0}=\frac{|x|}{x}=1$

כאשר $x_1\to 0^{-}$ מצדו השמאלי נקבל: $f(x)=li{m}_{x\to 0^{+}}\frac{|x|-|0|}{x-0}=\frac{|x|}{x}=-1$

קבלנו שתי נגזרות שונות ולפיכך אין נגזרת.

שיקוף פונקצית הערך המוחלט לפונקציה ללא ערך מוחלט

אם נשווה את הפונקציה בערך מוחלט אל ייצוגה ללא ערך מוחלט נראה:

1. כאשר $x>0$ פונקציה $y=x$ מתלכדת עם הפונקציה $y=|x|$
2. כאשר $x<0$ פונקציה $y=x$ היא שיקוף לפונקציה $y=|x|$

דוגמה, הגרף $y=x+1$

• 
  תיאור התמונה
• 
  תיאור התמונה

פונקציה $f(x)$ בערך מוחלט

אם נתבקש לצייר את פונקציה $f(x)$ בערך מוחלט $|f(x)|$ קיימים שני שרטוטים שעלינו לבצע:

1. לשרטט את הפונקציה $f(x)$ כאשר $x>0$
2. לשרטט את הפונקציה $-f(x)$ כאשר $x<0$

פונקציה $f(x)=a|x-p|+k$

נחקור פונקציה בעלת ערך מוחלט מהצורה $f(x)=a|x-p|+k$ ערך k – כאשר k חיובי הפונקציה עולה k יחידות, ולהפך. ערך p – כאשר p חיובי הפונקציה תפנה שמאלה p יחידות, ולהפך. ערך a – ככל ש- aגדל כך הזווית בין הפונקציה לציר ה-x תגדל, ולהפך. (p,K) הוא ערך קודקוד הפונקציה (יש להשם לב לסימנו. במידה וערך מוחלט נתייחס אליו כחיובי).

תבנית:מבנה תבנית