מתמטיקה תיכונית/טריגונומטריה/הפונקציות הטריגונומטריות של זוויות יחודיות/הפונקציות הטריגונומטריות של 45 מעלות

הפונקציות הטריגונומטריות לזווית ${\alpha }^{\circ }=45^{\circ }$ נתון משולש ישר זווית על מעגל היחידה. ($\mathrm{\angle }\beta =90^{\circ }$) $\mathrm{\angle }\alpha =45^{\circ }$ צ"ל $sin\alpha =|AB=?$ $cos\alpha =|OB|=?$ הוכחה $\begin{array}{c}\mathrm{\angle }\beta =90^{\circ }\\ \mathrm{\angle }\alpha =45^{\circ }\\ \downarrow \\ \mathrm{\angle }A=90^{\circ }-45^{\circ }=45^{\circ }\\ \downarrow \\ AB=OB=x\\ AO=1_{cm}=\text{r (Unit circles)}\\ \downarrow \\ x^2+x^2=1\\ 2x^2=1\\ x^2=\frac{1}{2}=\sqrt{\frac{1}{2}}\\ x=\frac{\sqrt{2}}{2}\\ \downarrow \\ \sin (45^{\circ })=\cos (45^{\circ })=\frac{\sqrt{2}}{2}\\ \end{array}$ ע"פ הנחה זו נוכל למצוא את $\tan (45^{\circ })$: $\tan (45^{\circ })=\frac{\sin (45^{\circ })}{\cos (45^{\circ })}=\frac{\sqrt{2}}{2}$