מתמטיקה תיכונית/טריגונומטריה/הרדיאן/רדיאן

מה הוא רדיאן? בנושא הקודם הצגנו את מעגל היחידה והזוויות עליו. בפרק הקודם הצגנו את הבעיתיות בהצגת הפונקציות הטריגונומטריות על מעגל היחידה. הסברנו כי הפתרונות לבעיות שלנו נמצא אצל הרדיאן. אם נצייר מעגל נשם לב כי הוא מורכב מנקודה (ראשית המעגל) סביבה מריצים ישר באורך מסוים (=רדיוס) עד שמשלימים מעגל שלם. היקף המעגל תלוי באורך הרדיוס: ככל שהרדיוס ארוך יותר כך ההיקף גדול יותר. לכל המעגלים באשר הם קיים יחס קבוע בין היקפם ($c$) לרדיוס שלהם ($r$) והוא מבוטא בנוסחה $c=2\pi r$. דהינו היקפו של כל מעגל מכיל את קטרו בערך שש פעמים, $2*\pi =2*(3.141592653\dots )$. מחלקים את המעגל לרדיוסים רדיאן - גודל הזוית שווה לרדיוס המעגל במקום להגדיר שרירותית את גודל הסיבוב באמצעות מעלות החליטו להיעזר בערך טבעי הקיים במעגל עצמו - הרדיוס. איך? חלקו את המעגל לקשתות. אורך כל אחת מהן שווה לרדיוס. קשת (L) במעגל היא קטע מהמעגל התחום בין שתי נקודות. גודלה של זווית במעגל נקבע באמצעות הקשת שלה. ככל שהקשת רחבה יותר כך הזווית תהיה גדולה יותר. הקשת נמדדת באמצעות מספרים או מעלות ואילו זווית נמדדת באמצעות מעלות. מאחר שהרדיוס נכנס בתוך המעגל על נוסחת היקף מעגל $2*\pi =3.14*2=6$ קיימים קצת יותר מ-6 קשתות השוות לרדיוס בכל מעגל. כל קשת שאורכה רדיוס הוגדרה כרדיאן. הרדיאן - מידת יחידה המגודרת כזווית היוצאת ממרכז מעגל ונוצרת על-ידי קשת שהיקפה שווה לאורך של רדיוס המעגל ($\alpha$=1 רדיאן). הרדיאנים נחשבים לגדלים "חסרי ממד" דהיינו הם אינם תלויים במערכות המדידה שלנו ולכן נחשבים למספרים טבעיים יותר. עתה יש לנו נוסחה הקושרת בין אורך לזווית. מצד אחד, אנו יכולים להשתמש בגודל הרדיוס באמצעות נוסחת היקף מעגל ($\frac{P_{◯}}{r}$) כדי לבטא את גודל הקשת שלנו, $\frac{L}{2\pi r}$ (והיא נמדדת בדרך כלל בסנטימטרים). מצד שני, הזווית תלויה בגודל הקשת $\frac{{\alpha }_{\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}}{2\pi }$. מעגל היחידה קשת במעגל היחידה יש לנו מצב ייחודי מאחר והרדיוס שווה לאחד. $\begin{array}{cc}& \frac{L}{2\pi r}=\frac{{\alpha }_{RAD}}{2\pi }\\ & \downarrow \\ & L={\alpha }_{\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}\cdot r\\ & r=1\\ & \downarrow \\ & L={\alpha }_{\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}\\ \end{array}$ כלומר, במעגל היחידה: אורך הקשת (L) כגודל הזוית (${\alpha }_{\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}$). אם זוית שווה ל- 1rad, אז הקשת שלה שווה ל-1 ס"מ. אם זוית שווה ל- 2rad, אז הקשת שלה שווה ל-2 ס"מ. אם זוית שווה ל- 3rad-, אז הקשת שלה שווה למינוס 3 ס"מ. סיכום מעגל היחידה על ציר המספרים מצאנו דרך לקשור בין גודל זווית למספרים עתה נוכל: לבטא את $x$ ולצייר את מעגל היחידה על ציר מספרים באמצעות רדיאנים המבוטא ביחידת אורך $\pi =3.14$. על כך נרחיב בפרק זוויות מיוחדות לקשור בין זווית לרידאנים - אם במעגל קיימים $2\pi r$ אזי $2\pi Rad$ השקולים ל- $360^{\circ }$. קישורים חיצונים לא מדויק