מתמטיקה תיכונית/טריגונומטריה/זהויות/רשימת זהויות/7

הוכחה באמצעות מעגל היחידה

על פי נוסחת המעגל הקנוני $x^2+y^2=1$. הראנו בפרקים של הגדרה פשוטה של פונקציות הטריגונומטריות על מעגל היחידה כי פונקצית הסינוס מייצג את ציר ה-$x$ ואילו פונקצית הסינוס את ציר ה-$y$ לכן נוכל להציב במשוואה את הערכים ולקבל את הזהות, ${\cos }^2+{\sin }^2=1$

הוכחה באמצעות משולש ישר זוויות

$\begin{array}{c}{\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1\\ \sin \alpha =\frac{a}{c}\\ (\sin \alpha {)}^2=(\frac{a}{c}{)}^2=\frac{a^2}{c^2}\\ \cos \alpha =\frac{b}{c}\\ \downarrow \\ (\cos \alpha {)}^2=(\frac{b}{c}{)}^2=\frac{b^2}{c^2}\\ (\sin \alpha {)}^2+(\cos \alpha {)}^2=\frac{a^2}{c^2}+\frac{b^2}{c^2}=\frac{a^2+b^2}{c^2}\\ \downarrow \\ a^2+b^2=c^2\\ (\sin \alpha {)}^2+(\cos \alpha {)}^2=\frac{c^2}{c^2}=1\\ {\sin }^2\alpha =(\sin \alpha {)}^2\\ \downarrow \\ {\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1\\ or\\ {\cos }^2\alpha =1-{\sin }^2\alpha \\ or\\ {\sin }^2\alpha =1-{\cos }^2\alpha \\ \end{array}$