מתמטיקה תיכונית/טריגונומטריה/שטח משולש על פי שלוש זוויות ורדיוס המעגל החוסם

נוסחה

$S_{\mathrm{△}}=2R^2*sin\alpha *sin\beta *sin\gamma$

הוכחה

על פי משפט הסינוסים $\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{b}{\sin \beta }=2R$ לכן $a=2R*sin\alpha$ וכן $b=2R*sin\beta$

על פי נוסחת שטח משולש באמצעות שתי צלעות וזווית בניהן: $S=\frac{ab\cdot \sin (\gamma )}{2}$

נציב את הנוסחה הראשונה בשנייה ונקבל: $S=\frac{2R*sin\alpha *2R*sin\beta \cdot \sin (\gamma )}{2}$

$S_{\mathrm{△}}=2R^2*sin\alpha *sin\beta *sin\gamma$