מתמטיקה תיכונית/טריגונומטריה/שטח משולש על פי שלוש זוויות ורדיוס המעגל החוסם

נוסחה

$S_{\mathrm{△}}=2R^2\ast sin\alpha \ast sin\beta \ast sin\gamma$

הוכחה

על פי משפט הסינוסים $\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{b}{\sin \beta }=2R$ לכן $a=2R\ast sin\alpha$ וכן $b=2R\ast sin\beta$

על פי נוסחת שטח משולש באמצעות שתי צלעות וזווית בניהן: $S=\frac{ab\cdot \sin (\gamma )}{2}$

נציב את הנוסחה הראשונה בשנייה ונקבל: $S=\frac{2R\ast sin\alpha \ast 2R\ast sin\beta \cdot \sin (\gamma )}{2}$

$S_{\mathrm{△}}=2R^2\ast sin\alpha \ast sin\beta \ast sin\gamma$