מתמטיקה תיכונית/פתרונות לספרים/גיאומטריה של המישור (מהדורה מורחבת)/עמוד 310 סעיף 35

המשולש $ABC$ הוא שווה שוקיים ($AB=AC$) . השוק $AB$ חותכת את המעגל בנקודה $D$ והמשכה חותך אותו בנקודה $E$. השוק $AC$ משיקה למעגל בנקודה $C$.

1. הוכח:$\mathrm{\Delta }ADC\sim \mathrm{\Delta }ACE$
2. נתון: CD התיכון לשוק AB במשולש ABC . נסמן AC ב-b. הבע באמצעות b את המיתר DE
3. . הוכח : SDCE=3SADC

סעיף א

1. $\mathrm{\angle }ACE=\mathrm{\angle }DCA$ (הזווית בין משיק למיתר הנחתכים בנקודת ההשקה שווה לזווית ההיקפית הנשענת על המיתר מצידו השני)
2. $A=A$ (זווית משותפת)

$\mathrm{\Delta }ADC\sim \mathrm{\Delta }ACE$ המשולשים דומים ז.ז

סעיף ב

על פי הדימיון: $\frac{b}{DE+0.5b}=\frac{0.5b}{b}$

נקבל : $0.5DE+0.25b=b$

כלומר: $DE=1.5b$

סעיף ג

מ-הנקודה C נוריד ל-AE (נסמן אותו ב-h):

$\begin{array}{c}SADC=\frac{h*0.5b}{2}=\frac{hb}{4}\\ SEDC=\frac{1.5hb}{2}=\frac{3hb}{4}\\ \frac{SEDC}{SADC}=\frac{3hb}{4}:\frac{hb}{4}=\frac{3hb}{4}*\frac{4}{hb}=3\\ 3SADC=SEDC\end{array}$