תורת הבקרה/מערכת מסדר שני

R - כניסה; C - יציאה.

למערכת מסדר שני, כלומר n=2, יש שני קטבים, ונהוג להציג את התמסורת בצורה:

$G(s)=\frac{As+B}{s^2+2\zeta {\omega }_{n}s+{\omega }_n^2}$

כאשר תבנית:מונח היא ריסון המערכת ו-ω_n היא התדירות הטבעית, אך על כך בהמשך.

קטבי המערכת:

$s_{1,2}=-\zeta {\omega }_n\pm \sqrt{{\zeta }^2{\omega }_n^2-{\omega }_n^2}=-{\omega }_n(\zeta \pm \sqrt{{\zeta }^2-1})$

התקבל איפוא שהפרמטר ζ משפיע על מיקום קטבי המערכת (למעשה זאת הסיבה לכך שנבחרה צורת הסימון הזו). נבחין בין כמה מקרים:

• $\underset{\_}{{\zeta }^2>1}$:
  • במקרה זה, שני השורשים הם ממשיים שליליים.
  • עבור ${\zeta }^2\gg 1$ נקבל:

  $s_{1,2}\approx -{\omega }_n(\zeta \pm \sqrt{{\zeta }^2})=0,-2\zeta {\omega }_n$

• $\underset{\_}{{\zeta }^2=1}$:
  • קוטב ממשי כפול: $s_{1,2}=-{\omega }_n$.
• $\underset{\_}{0<{\zeta }^2<1}$:
  • קטבים מרוכבים (יכולים להיות קטבים צמודים בלבד).
• $\underset{\_}{\zeta =0}$:
  • הקטבים על הציר המדומה: $s_{1,2}=\pm j{\omega }_n$.

לכל מקרה ומקרה השפעה שונה של המערכת לתגובה חיצונית מבחינת התייצבות ודעיכת תופעות המעבר. לכן הפרמטר ζ נקרא ריסון.

קטבים מרוכבים

נעסוק במקרה $0<\zeta <1$. לשם הצגת השורשים בצורה נוחה על המישור המרוכב, נשנה את הביטוי עבור הקטבים:

$s_{1,2}=-{\omega }_n(\zeta \pm \sqrt{{\zeta }^2-1})=-{\omega }_n(\zeta \pm j\sqrt{1-{\zeta }^2})$

כך שמתקבל:

$\text{Re}(s_{1,2})=-{\omega }_n\zeta ,\text{Im}(s_{1,2})=\pm {\omega }_n\sqrt{1-{\zeta }^2}$

והגודל של כל הקטבים הללו הינו:

$|s_{1,2}|=\sqrt{{\omega }_n^2{\zeta }^2+{\omega }_n^2(1-{\zeta }^2)}={\omega }_n$

כלומר כל הקטבים נמצאים על חצי מעגל ברדיוס ω_n. לכן תדירות זו נקראת התדירות הטבעית (natural frequency). מאותה סיבה, אם נגדיל את ω_n בעוד ש-ζ יישאר קבוע, הקטבים יתרחקו מן הראשית על אותה קרן.

נהוג לסמן:

• החלק הממשי:

$\sigma =\zeta {\omega }_n$

• פאזה:

$\tan \varphi =-\frac{\zeta }{\sqrt{1-{\zeta }^2}}$

• את התדירות המרוסנת (damped frequency):

${\omega }_d={\omega }_n\sqrt{1-{\zeta }^2}$

תגובה לכניסת מדרגה

$r(t)=u(t)\Rightarrow R(s)=\frac{1}{s}\Rightarrow C(s)=R(s)G(s)=\frac{G(s)}{s}=\frac{As+B}{s(s^2+2\zeta {\omega }_{n}s+{\omega }_n^2)}$

כאשר נבצע התמרת לפלס חזרה למישור הזמן, נקבל:

$c(t)=u(t)\cdot [\tilde{A}+\tilde{B}{e}^{-\zeta {\omega }_{n}t}\cos ({\omega }_{n}t\sqrt{1-{\zeta }^2}+\varphi )]$

$=u(t)\cdot \{\tilde{A}+\tilde{B}{e}^{-\sigma t}[\cos ({\omega }_{d}t)+\frac{\sigma }{{\omega }_d}\sin ({\omega }_{d}t)]\}$

כאשר: $\tan \varphi =-\frac{\zeta }{\sqrt{1-{\zeta }^2}}$

כלומר התגובה היא סינוסואידלית דועכת מעריכית, ה"רוכבת" על גבי קבוע $\tilde{A}=\frac{B}{{\omega }_n^2}$, וככל ש-σ גדול יותר (ערך ממשי שלילי יותר של הקוטב), הדעיכה מהירה יותר.

תגובת יתר (overshoot)

ה-overshoot הוא כינוי ל"קפיצה" הראשונה של התגובה מעל הערך של תגובת המצב המתמיד(הערך הקבוע שסביבו דועכת הסינוסואידה). ה-overshoot מסומן כ-M_p (קיצור של peak magnitude) ונמדד באחוזים מעל תגובת המצב המתמיד. קוארדינת הזמן השייכת ל-M_p מסומנת בתור t_p, ומוצאים אותה על ידי גזירת תגובת המערכת במישור הזמן והשוואה לאפס (מציאת נקודת קיצון). מהביטוי הכללי לתגובת המערכת רואים כי הנגזרת תתאפס עבור:

$t_n=\frac{\pi n}{{\omega }_d},n=0,1,2,...$

וכי זמן המחזור הינו קבוע ושווה ל:

$T_d=\frac{2\pi }{{\omega }_d}$

לכן תגובת היתר מקבלת את הצורה:

$M_p=e^{-\zeta {\omega }_n{t}_p}=\exp (-\frac{\pi \zeta }{\sqrt{1-{\zeta }^2}}),t_p=\frac{\pi }{{\omega }_d}$

זמן העליה (rise time)

זמן העליה מוגדר בתור הזמן שבו לוקח לתגובה להגיע מ-10% ל-90% של תגובת המצב המתמיד.

זמן ההתייצבות (settling time)

זמן ההתייצבות מוגדר בתור הזמן שלוקח לתגובת היתר להגיע לסטייה של 2% בלבד מהמצב המתמיד. חישוב זמן ההתייצבות מתבצע על המעטפת המעריכית, כי לא קיים כלי אנליטי לפתרון מדויק:

$\tilde{B}{e}^{-\zeta {\omega }_n{t}_s}=0.02\Rightarrow t_s=-\frac{1}{\zeta {\omega }_n}\ln \frac{0.02}{\tilde{B}}$

דקרמנט לוגריתמי (Log Decrement)

בעזרת שיטת הדקרמנט הלוגריתמי ניתן למצוא את גודל הריסון מתוך תוצאות ניסוי על ידי חישוב ערכן של שתי מקסימות עוקבות (יחסית למצב המתמיד):

$\delta =\ln \frac{c_1}{c_2}=\ln \frac{c(t_p)-c_{ss}}{c(t_p+T_d)-c_{ss}}=\ln \frac{e^{-\sigma t_p}}{e^{-\sigma (t_p+T_d)}}=\sigma T_d$

$\Rightarrow \delta =\frac{2\pi \zeta }{\sqrt{1-{\zeta }^2}}\Rightarrow \zeta =\sqrt{\frac{{\delta }^2}{4{\pi }^2+{\delta }^2}}$

כאשר $c_{ss}=\tilde{A}=\frac{B}{{\omega }_n^2}$ היא תגובת המצב המתמיד.

מקרה פרטי

עקומי בודה למערכות מסדר שני.

ביטויים מקורבים עבור המקרה הנפוץ

$A=0,B={\omega }_n^2,\tilde{A}=1,\tilde{B}=-\frac{1}{\sqrt{1-{\zeta }^2}}$

$G(s)=\frac{{\omega }_n^2}{s^2+2\zeta {\omega }_{n}s+{\omega }_n^2}$

הם במקרה זה:

• תגובה לכניסת מדרגה:

  $c(t)=u(t)\cdot \{1-e^{-\zeta {\omega }_{n}t}[\cos ({\omega }_{d}t)+\frac{\sigma }{{\omega }_d}\sin ({\omega }_{d}t)]\}$

  $=u(t)\cdot \{1-\frac{1}{\sqrt{1-{\zeta }^2}}{e}^{-\zeta {\omega }_{n}t}[\cos ({\omega }_{d}t+\varphi )]\}$

  כאשר: $\tan \varphi =-\frac{\zeta }{\sqrt{1-{\zeta }^2}}$

• תגובת היתר: עבור מקדמי ריסון קטנים נקבל: $M_p\approx 1-\frac{\zeta }{0.6}$
• זמן עלייה: $t_r\approx \frac{1+1.1\zeta +1.4{\zeta }^2}{{\omega }_n}\approx \frac{0.8+2.5\zeta }{{\omega }_n}\stackrel{\zeta \approx 0.4}{\overbrace{\approx }}\frac{1.8}{{\omega }_n}$
• זמן התייצבות:
  • עבור מעטפת של 1%: $t_s\approx \frac{4.6}{\zeta {\omega }_n}$.
  • עבור מעטפת של 5%: $t_s\approx \frac{3}{\zeta {\omega }_n}$.

קישורים חיצוניים

• סקירה מקיפה על מערכות סדר שני באתר אוניברסיטת באקנל.