תורת הבקרה/עודפי יציבות

מערכת בקרה עם משוב יחידה הינה על סף היציבות אם פונקצית התמסורת של החוג הפתוח מקיימת את קריטריון ההגבר ואת קריטריון הפאזה.

עקום בודה

• נניח כי קריטריון הפאזה מתקיים:

אם ההגבר קטן מ-1, אז עודף היציבות הוא המרחק מהגבר התמסורת עד ל-1, בפאזה של 180°. מכיוון שביחידות דציבל מתקיים:

$20{\log }_{10}\stackrel{1}{\overbrace{|\overline{G}|}}=0$

עודף ההגבר מוגדר כתוספת ההגבר (בדציבל) שיש להוסיף על מנת להגיע להגבר 0 (בעקום בודה קל לראות זאת), בתדירות שבה הפאזה שווה ל-180°.

• נניח כי עקום ההגבר מתקיים:

במערכת יציבה, הפאזה צריכה להיות פחות שלילית מ- תבנית:משמאל לימין (או לחילופין: יותר חיובית מ-180°).

עודף המופע מוגדר כתוספת המופע הדרושה על מנת להביא את ארגומנט התמסורת ל-$\pm 180^o$, בתדירות שבה הגבר התמסורת הינו 0 דציבל, כלומר תוספת המופע שנצטרך על מנת להגיע לאי-יציבות.

• אם כן, במערכת יציבה הן עודף ההגבר והן עודף המופע חיוביים, ואילו במערכת לא-יציבה שניהם שליליים.

עודפי היציבות הינם מדדים ליציבות יחסית. למשל, עד כמה עקום נייקוויסט קרוב לנקודה $-\frac{1}{K}$.

מגדירים עודפי יציבות כדי לפצות על אי-ודאויות במערכת (בדרך כלל מערכות מינימום פאזה - MP).

הגדרות

תדירות החצייה (crossover frequency או phase crossover)

$KGH(j{\omega }_c)\equiv -180^o$

• בעקום נייקוייסט, תדירות החציה היא התדירות שבה העקום במישור KGH חותך את הציר הממשי.
• בעקום בודה, תדירות החצייה היא התדירות בה עקום הפאזה חותך את קו תבנית:משמאל לימין.
• מערכת strictly proper לעולם לא תחצה את קו תבנית:משמאל לימין.

עודף הגבר (gain margin)

עודף ההגבר הינו ההגבר שיש להוסיף למערכת החוג הסגור על מנת להגיע לסף היציבות.

• במונחים של קריטריון נייקוייסט:

  $|KGH(j{\omega }_c)|K_g=1\Rightarrow K_g=\frac{1}{|KGH(j{\omega }_c)|}$

  $K_g{|}_{dB}=-20{\log }_{10}|KGH(j{\omega }_c)|$

• במונחים של עקום בודה:

עודף הגבר הוא המרחק בין עקום ההגבר לקו 0 הגבר, בתדירות החצייה.

• במערכת strictly proper מסדר 1,2, עודף ההגבר הוא אינסופי.

תדירות מעבר הגבר (gain crossover)

$|KGH(j{\omega }_{\varphi })|=1$

• במונחים של עקום בודה, תדירות מעבר הגבר היא התדירות שבה עקום ההגבר חותך את קו 0 הגבר.
• אם נגדיל את הגבר החוג הפתוח, תדירות מעבר ההגבר תגדל ותתקרב לתדירות החצייה (תדירות החצייה לא תשתנה עקב שינוי ההגבר).

ניתן להגדיל את ההגבר עד לרגע בו ${\omega }_{\varphi }={\omega }_c$ ובמצב זה המערכת היא על סף היציבות. הגדלה נוספת של ההגבר תביא לאי-יציבות המערכת.

עודף מופע (phase margin)

עודף מופע במונחי עקום נייקויסט

בזווית זו מתקבל סף יציבות.

• במונחים של עקום בודה, עודף מופע הוא המרחק מעקום הפאזה לקו תבנית:משמאל לימין, בתדירות מעבר ההגבר.

מטלאב

G=tf(num,den);
[GM,PM,Wg,Wp] = margin(G);