תורת הבקרה/עקום ליסז'ו

הפרש פאזה של 90 מעלות

עקום ליסז'ו (Lissajous curve) ממחיש באופן ויזואלי את השינוי בפאזה בין אות יציאה לאות כניסה. מעקום ליסז'ו לא ניתן למצוא את ההגבר.

נניח כי הכניסה היא הסינוס $R(s)=A\sin (\omega t)$. מאחר ואנו עוסקים במערכות לינאריות, בהכרח נקבל גם סינוס ביציאה: $C(s)=K(\omega )A\sin (\omega t+\varphi )$. עקום ליסז'ו מתקבל על ידי הצגת אות הכניסה בציר X ואות היציאה בציר Y, כאשר אות הכניסה (ציר X) מנורמל במשרעת A, ואות היציאה (ציר Y) מנורמל במשרעת $K(\omega )A$, כדי לקבל בשני הצירים תחום ריבועי של $[-1,1]$.

מציאת הפרש הפאזה מתוך העקום

1. כיוון:

   • אם הנקודה מסתובבת עם כיוון השעון (CW), הפרש הפאזה הוא חיובי - קידום פאזה (lead).
   • אם הנקודה מסתובבת נגד כיוון השעון (CCW), הפרש הפאזה הוא שלילי - פיגור פאזה (lag).

2. חיתוך:

   • ניתן למצוא את הפרש הפאזה באמצעות חישוב אחד הגדלים: $a=\sin \varphi ,b=\cos \varphi$, כאשר a הוא הוא הערך של y עבורו x=0, ו-b הוא הערך של y כאשר x=1.
   • הפרש פאזה של $-45^o$ מתקבל כאשר $a=b=\frac{\sqrt{2}}{2}$.
   • הפרש פאזה של $-90^o$ מתקבל כאשר העקום הוא מעגל: a=1, b=0.

• עקומי ליסז'ו
• 
  הפרש פאזה של 45- מעלות
• 
  הפרש פאזה של 90- מעלות
• 
  הפרש פאזה של 135- מעלות
• 
  הפרש פאזה של 180- מעלות

(להשלים)

מטלאב

בדוגמה הבאה, נקח באופן שרירותי $\omega =3,\varphi =-45$:

omega=3; %[rad/sec]
phi=-45*pi/180;
T=2*pi/omega; %[sec]
t=0:0.1:T;
x=sin(omega*t);
y=sin(omega*t+phi);
plot(x,y,'o')

יתקבל גרף זהה לזה המוצג בגלריה למעלה עבור פיגור של 45 מעלות.

קישורים חיצוניים

• על עקום ליסז'ו מאתר MatWorld.
• המחשה תלת מימדית.