תורת הבקרה/פתרון משוואת המצב עבור מערכת קבועה בזמן

משוואת המצב -

$\dot{\overrightarrow{x}}=A\overrightarrow{x}+B\overrightarrow{u}$

היא מד"ר מסדר ראשון, אלא שהמשתנים הם וקטורים והמקדמים הם מטריצה.

מכאן והלאה, אם לא צוין אחרת, x הוא וקטור מסדר n.

כניסה אפס

נפתור באמצעות הפרדת משתנים:

$\dot{\overrightarrow{x}}=A\overrightarrow{x}\Rightarrow \frac{dx(t)}{x(t)}=Adt\Rightarrow x(t)=e^{At+C}$

במקום קבוע מעריכי C נציב קבוע כפלי, שהוא למעשה תנאי ההתחלה:

$x(t)=x(t_0)e^{At}$

המטריצה $e^{At}$ נקראת מטריצת מצב-מעבר (state-transition matrix), ונדון עליה בהמשך. כמו כן, הביטוי $x(t_0)e^{At}$ הוא הפיתרון ההומוגני של המשוואה שנפגוש בהמשך:

כניסה שונה מאפס

במקרה זה לא ניתן לבצע הפרדת משתנים. הטריק הוא להכפיל ב-$e^{-At}$ ואז נקבל נגזרת של מכפלה:

$e^{-At}\dot{x}(t)-e^{-At}Ax(t)=\frac{d}{dt}[e^{-At}x(t)]=e^{-At}Bu(t)$

נבצע אינטגרציה על הביטוי האחרון מהזמן ההתחלתי t₀ ועד לזמן הנוכחי t, ונקבל: תבנית:תזכורת

$x(t)=e^{A(t-t_0)}x(t_0)+\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}{e}^{A(t-\tau )}Bu(\tau )d\tau$

באופן דומה, עבור משוואת הפלט נקבל:

$y(t)=C{e}^{A(t-t_0)}x(t_0)+C\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}{e}^{A(t-\tau )}Bu(\tau )d\tau +Du(t)$

זהו הפתרון הכללי של משוואת מצב LTI עם כניסה שונה מאפס.

מטריצת המעבר

מטריצת המעבר קיבלה את שמה בעקבות הקישור שהיא ממלאת:

$\overrightarrow{x}(t_1)=e^{A(t_1-t_0)}\cdot \overrightarrow{x}(t_0)$

כלומר, מקשרת בין וקטורי המצב בין שני זמנים כלשהם.

מטריצת המעבר מוגדרת:

$\varphi (t_1,t_0)=e^{A(t_1-t_0)}=\varphi (t_1-t_0)$

תכונות מטריצת המעבר

1. $\dot{\varphi }(t,t_0)=A\varphi (t,t_0)$
2. $\varphi (t_0,t_0)=I$
3. $\varphi (t_2,t_0)=\varphi (t_2,t_1)\cdot \varphi (t_1,t_0)$
4. $\varphi (t_0,t_1)={\varphi }^{-1}(t_1,t_0)$
5. הערכים העצמיים של A הם קטבי המערכת.
6. טרנספורמציה לינארית של משתני המצב לא תשנה את הקטבים.

חישוב מטריצת המעבר

באמצעות טור טיילור

$e^{At}=I+At+\frac{1}{2!}(At{)}^2+\cdots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(At{)}^n}{n!}$

מטלאב: תבנית:קלט פלט

באמצעות התמרת לפלס

$\dot{\overrightarrow{x}}=A\overrightarrow{x}\Rightarrow s\overrightarrow{X}(s)-{\overrightarrow{X}}_0=A\overrightarrow{X}(s)\Rightarrow \overrightarrow{X}(s)=[sI-A{]}^{-1}{\overrightarrow{X}}_0$

נבצע התמרה הפוכה, חזרה למישור הזמן:

$\overrightarrow{x}(t)={ℒ}^{-1}\left\{{[sI-A]}^{-1}{\overrightarrow{X}}_0\right\}$

כך שבזמן אפס:

$\varphi (t)=\varphi (t,0)={ℒ}^{-1}\left\{{[sI-A]}^{-1}\right\}$

כלומר מטריצת המעבר היא:

$\varphi (t)=e^{At}={ℒ}^{-1}\left\{{[sI-A]}^{-1}\right\}$

דוגמאות

(להשלים)

טרנספורמציה לינארית של משתני המצב

כזכור, מערכת משתני המצב מוגדרת כך:

$\{\begin{array}{c}\dot{\overrightarrow{x}}=A\overrightarrow{x}+B\overrightarrow{u}\\ \overrightarrow{y}=C\overrightarrow{x}+D\overrightarrow{u}\end{array}$

נגדיר וקטור מצב חדש באמצעות מטרית המעבר Q:

$\overrightarrow{z}=Q\overrightarrow{x},\overrightarrow{z}(t_0)=Q{\overrightarrow{x}}_0$

כאשר Q מן הסתם הפיכה, כלומר: $\text{det}Q\ne 0$, ואז:

$\{\begin{array}{c}\overrightarrow{x}=Q^{-1}\overrightarrow{z}\\ \dot{\overrightarrow{x}}=Q^{-1}\dot{\overrightarrow{z}}\end{array}$

אם נציב ביטויים אלו למערכת משתני המצב, נקבל:

$\{\begin{array}{c}\dot{\overrightarrow{z}}=QA{Q}^{-1}\overrightarrow{z}+QB\overrightarrow{u}\\ \overrightarrow{y}=C{Q}^{-1}\overrightarrow{z}+D\overrightarrow{u}\end{array}$

נגדיר את הביטויים:

$\{\begin{array}{c}\tilde{A}=QA{Q}^{-1},\tilde{B}=QB\\ \tilde{C}=C{Q}^{-1}\end{array}$

ואז:

$\{\begin{array}{c}\dot{\overrightarrow{z}}=\tilde{A}\overrightarrow{z}+\tilde{B}\overrightarrow{u}\\ \overrightarrow{y}=\tilde{C}\overrightarrow{z}+D\overrightarrow{u}\end{array}$

טרנספורמציה קנונית: לכסון משוואת המצב

נסמן ${\lambda }_i,{\overrightarrow{v}}_i$ הערכים העצמיים והוקטורים העצמיים המתאימים להם, של המטריצה A, ונניח בפיתוח זה כי הם שונים זה מזה, כלומר:

${\lambda }_i{\overrightarrow{v}}_i=A{\overrightarrow{v}}_i,{\lambda }_i\ne {\lambda }_j\mathrm{\forall }i\ne j;i,j=1,...,n$

נגדיר:

$V=Q^{-1}$

כך ש:

$\overrightarrow{x}=V\overrightarrow{z},{\overrightarrow{z}}_0=V^{-1}{\overrightarrow{x}}_0$

ו-V היא מטריצת הוקטורים העצמיים, כך ש:

$V=[{\overrightarrow{v}}_1{\overrightarrow{v}}_2\cdots {\overrightarrow{v}}_n]$

ו-Λ היא מטריצה אלכסונית של הערכים העצמיים:

$\mathrm{\Lambda }=\text{diag}({\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots {\lambda }_n)$

נבצע את המכפלה AV לשם הבהרה:

$AV=[A{\overrightarrow{v}}_{1}A{\overrightarrow{v}}_2\cdots A{\overrightarrow{v}}_n]=[{\lambda }_1{\overrightarrow{v}}_1{\lambda }_2{\overrightarrow{v}}_2\cdots {\lambda }_n{\overrightarrow{v}}_n]=\underset{V}{\underbrace{[{\overrightarrow{v}}_1{\overrightarrow{v}}_2\cdots {\overrightarrow{v}}_n]}}\underset{\mathrm{\Lambda }}{\underbrace{\left[\begin{array}{ccc}{\lambda }_1& \cdots & 0\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& \cdots & {\lambda }_n\end{array}\right]}}=V\mathrm{\Lambda }$

ולכן:

$A=V\mathrm{\Lambda }{V}^{-1}$

כך שמתקבל:

$\{\begin{array}{c}\dot{\overrightarrow{z}}=\mathrm{\Lambda }\overrightarrow{z}+V^{-1}B\overrightarrow{u}\\ \overrightarrow{y}=CV\overrightarrow{z}+D\overrightarrow{u}\end{array}$

מטריצת מעבר

$\varphi (t)=e^{\mathrm{\Lambda }t}=\left[\begin{array}{ccc}{e}^{{\lambda }_{1}t}& \cdots & 0\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& \cdots & e^{{\lambda }_{n}t}\end{array}\right]$

לשם המשך הפיתוח, נשתמש בקשר הבא:

$A=V\mathrm{\Lambda }{V}^{-1}\Rightarrow A^n=V{\mathrm{\Lambda }}^n{V}^{-1}$

כך שמתקיים:

$e^{At}=I+At+\frac{(At{)}^2}{2}+\cdots =V{V}^{-1}+V\mathrm{\Lambda }{V}^{-1}t+\frac{(V\mathrm{\Lambda }{V}^{-1}{)}^2}{2!}{t}^2+\cdots =$

$=V(I+\mathrm{\Lambda }t+\frac{(\mathrm{\Lambda }t{)}^2}{2!}+\cdots )V^{-1}=V{e}^{\mathrm{\Lambda }t}{V}^{-1}$

לסיכום:

$e^{At}=V{e}^{\mathrm{\Lambda }t}{V}^{-1}⟺e^{\mathrm{\Lambda }t}=V^{-1}{e}^{At}V$

ערכים עצמיים מריבוי r

(להשלים)