תורת הבקרה/רגישות

הגדרת הרגישות

הרגישות של גודל Y כלשהו בפרמטר X מוגדרת על ידי:

$S_X^Y=\frac{\frac{\partial Y(s)}{Y(s)}}{\frac{\partial X(s)}{X(s)}}=\frac{\partial Y(s)}{\partial X(s)}\cdot \frac{X(s)}{Y(s)}$

כלומר מנת החלוקה של השינוי היחסי של Y בשינוי היחסי של X.

שימוש

מערכת בקרה כללית מורכבת מפונקצית התמסורת של המערכת (G) ומפונקצית תמסורת של המשוב (H). נבדוק את רגישות היציאה (C) לשינויים ב-G וב-H.

חוג פתוח (H=0)

במצב של חוג פתוח מתקיים הקשר הפשוט:

$C(s)=R(s)G(s)\Rightarrow S_G^C=\frac{\partial C}{\partial G}\cdot \frac{G}{C}=R\cdot \frac{G}{RG}=1$

כלומר קיים קשר ישר בין השינוי בתמסורת החוג הפתוח לבין אות היציאה. במילים אחרות, כל שינוי בפונקציה G יביא לאותו שינוי באות היציאה C.

חוג סגור

במצב של חוג סגור מתקיים הקשר:

$C(s)=\frac{G(s)}{1+G(s)H(s)}R(s)\Rightarrow \{\begin{array}{c}{S}_G^C=\frac{\partial C}{\partial G}\cdot \frac{G}{C}=\frac{1+GH-GH}{(1+GH{)}^2}R\cdot \frac{1+GH}{R}=\frac{1}{1+GH}\\ S_H^C=\frac{\partial C}{\partial H}\cdot \frac{H}{C}=-\frac{G^2}{(1+GH{)}^2}R\cdot \frac{H(1+GH)}{GR}=\frac{-GH}{1+GH}\end{array}$

• הרגישות לשינויים בפונקציות התמסורת בחוג סגור קטנה יותר מהרגישות לשינויים בחוג פתוח.
• בהנחת H קבוע (גוזרים לפי G, שורה עליונה) הרגישות לשינויים קטנה פי פקטור של 1+GH מאשר במקרה של חוג פתוח.
• בהנחת G קבוע (גוזרים לפי H, שורה תחתונה), הגדלת המכפלה GH מקרבת את גודל הרגישות לזה של החוג הפתוח. אם כן, יש לקבוע את H בתבונה, מאחר ובדרך כלל זאת הפונקציה אשר ניתן לשלוט עליה, ולא G.