תורת הבקרה/תכנון רשת תיקון בעזרת עקום בודה

רשת קידום פאזה

תבנית:תזכורת ברשת קידום פאזה מציבים אפס אשר קרוב יותר לראשית $s=-\frac{1}{a\tau }$, וקוטב $s=-\frac{1}{\tau }$ אשר רחוק יותר מן הראשית, על מנת שתחילה יהיה קידום פאזה, ורק לאחר מכן הקוטב יחזיר אותה לקדמותה.

הצורה המקובלת לרשת כזו הינה:

$G_c(s)=\frac{1}{a}\cdot \frac{a\tau s+1}{\tau s+1},a>1$

כאשר לחוג הקדמי מוסיפים הגבר a למטרת פיצוי ההגבר.

גרף פולארי

גרף פולרי של רשת תיקון מתקבל באמצעות שרטוט פונקצית התמסורת כתלות בתדירות (זהו למעשה עקום נייקוויסט, ללא תדירויות שליליות):

$G_c(s){|}_{s=j\omega }=\frac{1}{a}\frac{a\tau j\omega +1}{\tau j\omega +1}=\frac{1}{a}\frac{1+a{\tau }^2{\omega }^2}{1+{\tau }^2{\omega }^2}+j\frac{1}{a}\frac{\tau \omega (a-1)}{1+{\tau }^2{\omega }^2}$

$|G_c(j\omega )|=\frac{1}{a}\frac{\sqrt{a^2{\tau }^2{\omega }^2+1}}{\sqrt{{\tau }^2{\omega }^2+1}},\varphi =\mathrm{\angle }{G}_c(j\omega )=\arctan a\tau \omega -\arctan \tau \omega$

ברשת קידום פאזה:

1. הפאזה תמיד חיובית.
2. בתדרים גבוהים ההגבר שווה ל-1 (0dB).
3. בתדרים נמוכים, ההגבר שווה ל-$1/a$.
4. הגרף המתקבל הינו בצורת חצי מעגל הנמצא ברביע הראשון.
5. הפאזה המרבית ${\varphi }_m$ שניתן לקבל אפשר למצוא באחת משתי הדרכים:
   1. באמצעות העברת משיק מהראשית לעקום הנייקוויסט. התדירות בנקודת ההשקה היא ${\omega }_m$, והפאזה של אותה נקודה היא ${\varphi }_m$.
   2. באמצעות גזירת הביטוי לפאזה (של עקום בודה):

      $\frac{d\varphi }{d\omega }=\frac{a\tau }{1+a^2{\tau }^2{\omega }^2}-\frac{\tau }{1+{\tau }^2{\omega }^2}=0\Rightarrow {\omega }_m=\frac{1}{\tau \sqrt{a}}$

      ${\varphi }_m=\varphi ({\omega }_m)=\arctan \sqrt{a}-\arctan \frac{1}{\sqrt{a}}$

6. משיקולים גאומטריים מתקבל:

   $\sin {\varphi }_m=\frac{a-1}{a+1}$

שלבים

1. נניח כי תמסורת החוג הפתוח, לפני הוספת רשת התיקון, היא G. נמצא את עודף ההגבר ועודף המופע ע"י נייקוויסט או ע"י בודה. נסמן את תוספת הפאזה הדרושה בתור ${\varphi }_m=\mathrm{\Delta }PM$ ואת עודף ההגבר בתור K_g. בדרך כלל נתחיל את האינטרציות עם תוספת מעט גדולה יותר, מכיוון שלא כל התרומה הולכת למטרתנו.
2. מחשבים את a באמצעות הנוסחה:

   $\sin {\varphi }_m=\frac{a-1}{a+1}\Rightarrow a=\frac{1+\sin {\varphi }_m}{1-\sin {\varphi }_m}$

3. את תדירות חציית ההגבר החדשה נמצא מתוך קריטריון ההגבר עבור החוג הפתוח החדש:

   $|G_c(j{\omega }_m)|\cdot |a|\cdot |G(j{\omega }_m)|=1$

   נציב ${\omega }_m=\frac{1}{\tau \sqrt{a}}$ לתוך הביטוי של רשת התיקון ונפתור עבור G. יתקבל הביטוי:

   $|G(j{\omega }_m)|=\frac{1}{\sqrt{a}}$

   וזה שווה בדיוק ל-K_g. מאחר ואת עודף ההגבר K_g נמצא בדרך כלל מתוך עקום בודה, נכתוב את הביטוי האחרון בדציבלים:

   $|G(j{\omega }_m){|}_{dB}=20\log \frac{1}{\sqrt{a}}=-10\log a$

   וזה שווה בדיוק ל-$K_{g,dB}$.

4. מתוך עקום בודה מוצאים עבור איזו תדירות (ω_m) יתקבל ההגבר הזה (K_g,dB) ומציבים לתוך $\tau =\frac{1}{{\omega }_m\sqrt{a}}$ לשם קבלת ערכו של τ.
5. רושמים את תמסורת החוג הפתוח הכוללת שהתקבלה (לא לשכוח את הגבר הפיצוי a) ובודקים שוב על המערכת החדשה את עודף המופע. אם אינו בתחום הדרוש יש לבצע איטרציה נוספת תוך שינוי ערכו של φ_m.

רשת פיגור פאזה

הצורה הכללית של רשת פיגור פאזה היא:

$G_c=\frac{1+a\tau s}{1+\tau s}$

שימו לב כי הבקר אינו משפיע על שגיאת המצב המתמיד:

$\underset{s\to 0}{\lim }{G}_c=1$

משתמשים ברשת פיגור פאזה כאשר לא ניתן להשתמש ברשת קידום פאזה, כלומר כאשר דרוש $\mathrm{\Delta }PM=P{M}_{req}-P{M}_{now}>60^o$.

שלבים

1. תמיד ניקח עודף מופע מעט גבוה מהדרוש. נסמן אותו ב-$P{M}_{req}$. הפאזה שבה אנו אמורים להמצא היא:

   $-180-P{M}_{req}$

   מתוך עקום בודה מוצאים את התדירות ${\omega }_{\varphi }$ המתאימה לפאזה הזו ואת ההגבר $G(j{\omega }_{\varphi })$ המתאים לתדירות זו.

2. מכיוון שדרוש להנחית את ההגבר בנקודה ${\omega }_{\varphi }$ ל-0dB, הערך של a יתקבל מהמשוואה:

   $20\log a=G(j{\omega }_{\varphi })$

3. נהוג לקחת את הקוטב והאפס במרחק דקאדה זה מזה ולכן:

   $\frac{1}{a\tau }=\frac{{\omega }_{\varphi }}{10}$

4. כותבים את הביטוי המלא לתמסורת רשת התיקון ומחשבים עודפי יציבות של כל החוג הפתוח.

(להוסיף: תכן של GM)