הסתברות/מבוא/דוגמה מסכמת - ניסויי ברנולי

נסיים חלק זה בדוגמה שתסכם את הנקודות שראינו - ניסויי ברנולי.

הגדרות

אפשר, לדוגמה, לחשוב על הטלת מטבע כניסוי ברנולי. נגדיר (שרירותית) תוצאת "עץ" כ"הצלחה". אם המטבע הוגן, אז, $p=q=0.5$.

אם נחזור על הניסוי יותר מפעם אחת, באופן בלתי תלוי, נקבל רצף ניסויי ברנולי. תבנית:מבנה תבנית

לדוגמה, אם נטיל אותו מטבע 10 פעמים ברצף, קבלנו רצף ניסויי ברנולי.

למען הנוחות, נסמן "הצלחה" כ-1 ו"כשלון" כ-0.

הסתברות לקבלת סדרה נתונה ברצף ניסויי ברנולי

נניח שנבצע את הניסוי 5 פעמים. מה ההסתברות שסדרת התוצאות תהיה $x=00101$ (שני כשלונות, הצלחה, כשלון, ועוד הצלחה)?

הסתברות לקבלת מספר הצלחות נתון

נניח שנבצע את הניסוי 5 פעמים. מה ההסתברות שנקבל שבסדרת התוצאות תהיינה בדיוק שתי הצלחות?

הסיכוי להצלחה ראשונה בניסוי כלשהו

מה הסיכוי שהניסוי יצליח לראשונה בפעם ה-$k$?

לחלופין, מה הסיכוי ש-$k-1$ הנסיונות הראשונים ייכשלו? התשובה היא כמובן $q^{k-1}$. אפשר לראות זאת בשני אופנים שונים, שכ"א מהם מתאים לאינטרפרטציה שונה של מרחב המדגם.

הסיכוי להצלחה ראשונה בניסוי זוגי

נוכיח זאת בעזרת נוסחת ההסתברות השלמה.

הסיכוי שמטבע ייצר סדרת תוצאות

נניח שיש לנו שני מטבעות. לראשון תוצאת "עץ" בהסתברות $p_1$, ולשני תוצאת "עץ" בהסתברות $p_2$. בוחרים בהסתברות $p$ את המטבע הראשון(ובהסתברות $1-p$ את השני), ומטילים $n$ הטלות. מתוכן יצאו $k$ תוצאות "עץ". מה הסיכוי שמדובר במטבע הראשון?

נשתמש בנוסחת בייס.

נסמן כ-$B$ את הארוע בו ארעה סדרת התוצאות הנ"ל. נסמן ב-$A_1$ וב-$A_2$ את הסיכוי שנבחר המטבע הראשון והשני, בהתאמה.

נניח שידוע שהמטבע הראשון נבחר. הסיכוי לתוצאה הוא

$\mathbb{P}(B|A_1)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})p_1^k(1-p_1{)}^{n-k}$.

באותו האופן, אם נבחר המטבע השני, הסיכוי לתוצאה הוא

$\mathbb{P}(B|A_2)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})p_2^k(1-p_2{)}^{n-k}$.

נציב בגרסת ההסתברות השלימה של נוסחת בייס, ונקבל

$\mathbb{P}(A_1|B)=\frac{\mathbb{P}(B|A_1)\mathbb{P}(A_1)}{\mathbb{P}(B|A_1)\mathbb{P}(A_1)+\mathbb{P}(B|A_2)\mathbb{P}(A_2)}=\frac{p_1^k(1-p_1{)}^{n-k}p}{p_1^k(1-p_1{)}^{n-k}p+p_2^k(1-p_2{)}^{n-k}(1-p)}$