מבנים אלגבריים/חבורות/הומומורפיזמים
תבנית:מבנים אלגבריים עד כה עסקנו בחבורות בצורה סטאטית. כלומר, התעסקנו במבנה הכללי של חבורה ושל חבורות ספציפיות שבדקנו (ראה פרק חבורות חשובות). בפרק זה נתעסק בקשר בין חבורות שונות ובאיזשהו סוג של "דמיון" בין שתי חבורות, וזאת בעזרת פונקציות מחבורה אחת לאחרת.
כפי שהקורא כבר יכול לתאר לעצמו, לא מספיק שהפונקציות הללו יהיו סתם פונקציות מקבוצה אחת לאחרת ששניהן במקרה גם חבורות, אלא שאותה פונקציה תצטרך גם "לשמר" באיזשהו מובן את המבנה של החבורות בתחום ובטווח.
הגדרת ההומומורפיזם של חבורות
נתחיל את הפרק בהגדרה של הומומורפיזמים. תבנית:מבנה תבנית
כלומר, פונקציה ש"משמרת" את המבנה של החבורות בתחום ובטווח היא הומומורפיזם. הטענות הבאות יראו לנו שהומומורפיזמים של חבורות, אכן שומרים על המבנה ומגלים לנו דברים חשובים על הקשר בין שתי החבורות.
דוגמאות
תכונות בסיסיות
התמונה והגרעין של הומומורפיזם
הגדרות
וביתר כלליות, נוכל להגדיר: תבנית:מבנה תבנית
טענות בסיסיות
הלמה הבאה קלה להוכחה ומושארת כתרגיל לקורא:
מורפיזמים
הטענות הבאות יחסית קלות ומושארות לקורא כתרגיל: תבנית:טענה
שיכונים ותמונות הומומורפיות
דוגמאות
דוגמאות
חבורות איזומורפיות
בסעיף זה נדון במשמעות של שתי חבורות שמבחינת המבנה שלהן, הן בדיוק אותה החבורה. מה זה אומר? שההבדל היחיד בין שתי החבורות האלו הוא השמות של האיברים והסימון של הפעולה הביניארית. חבורות "זהות" שכאלה יקראו איזומורפיות, מלשון איזו = שווה, מורפיות=צורה, מיוונית.
הגדרה
דוגמאות
טענות בסיסיות
הלמה הבאה פשוטה להוכחה ומושארת לקורא כתרגיל:
הטענה הבאה מפתיעה מעט ויש לה חשיבות רבה:
תבנית:משפט
באופן דומה יוכל הקורא להוכיח את המשפט הבא: תבנית:משפט
אנחנו ניתן הוכחה פורמלית מלאה לשני המשפטים לעיל יחדיו בפרק על משפטי האיזומורפיזם.
חבורת האנדומורפיזמים
ראינו בסעיפים הקודמים כי הרכבה של הומומורפיזמים היא הומומורפיזם. לכן, קבוצת כל ההומומורפיזמים של חבורה כלשהי לעצמה, סגורה כלפי פעולת ההרכבה של פונקציות, אך האם היא חבורה? נתחיל במספר הגדרות.
הגדרות
טענות בסיסיות
תבנית:טענה הלמות הבאות הן פשוטות ומושארות לקורא כתרגיל:
חבורת האוטומורפיזמים
כעת נדבר על הח"ח החשובה ביותר של חבורת האנדומורפיזמים, חבורת האוטומורפיזמים.
טענות בסיסיות
כתרגיל, יוכיח הקורא את הטענה הבאה: תבנית:טענה
משפט קיילי
משפט קיילי חושף בפנינו קשר בסיסי בין חבורה לחבורת הסימטריה שלה.