הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/גבולות, סדרות ורציפות/גבולות/גבול של חזקה

משפט

אם $\underset{x\to a}{\lim }f(x)=L$ אז $\underset{x\to a}{\lim }f(x{)}^n=L^n$ כאשר $n\in \mathbb{N}$ .

הוכחה

נשתמש בחוק למכפלת גבולות ובאינדוקציה מתמטית. המקרה $n=1$ הוא נכון טריויאלית. נניח כי $\underset{x\to a}{\lim }f(x{)}^{n-1}=L^{n-1}$ ונוכיח כי $\underset{x\to a}{\lim }f(x{)}^n=L^n$ .

$$\underset{x\to a}{\lim }f(x{)}^n=\underset{x\to a}{\lim }[f(x{)}^{n-1}\cdot f(x)]=\underset{x\to a}{\lim }f(x{)}^{n-1}\cdot \underset{x\to a}{\lim }f(x)=L^{n-1}\cdot L=L^n$$

השוויון השני מוצדק בגלל ההנחה $\underset{x\to a}{\lim }f(x{)}^{n-1}=L^{n-1}$ ובגלל החוק למכפלת גבולות. $◼$