הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/גבולות, סדרות ורציפות/סדרות/מבחן המנה לסדרות

משפט

תהי $\{a_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ סדרה חיובית. נסמן $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{a_{n+1}}{a_n}=L$ .

• אם $L<1$ אז $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=0$ .

• אם $L>1,L=\mathrm{\infty }$ אז $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=\mathrm{\infty }$ .

הוכחה

• מקרה א': $L<1$

בדומה למבחן המנה לטורים, ההוכחה מתבססת על בניית סדרה הנדסית בהתבסס על הגבול והשוואתה לסדרה הנתונה.

ניתן לקצר תהליכים ולהתבסס ישירות על מבחן המנה לטורים כי אם הסדרה חיובית והגבול $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{a_{n+1}}{a_n}=L<1$ , אז המבחן קובע כי הטור $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ מתכנס,

וכיון שהתכנסות טור גוררת התכנסות הסדרה לאפס, נקבל כי $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=0$ .

$◼$

• מקרה ב': $L>1,L=\mathrm{\infty }$

נבחר מספר $r$ המקיים $L>r>1$ . כיון ש־$L>1$ קיים $k\in \mathbb{N}$ כך שלכל $n>k$ מתקיים $\frac{a_{n+1}}{a_n}>r$ או באופן שקול $a_{n+1}>a_n\cdot r$ .

נציב את $n$ להיות $k,k+1,k+2$ וכו' באי־שוויון זה ונקבל:

$$\begin{array}{c}{a}_{k+1}>a_k\cdot r\\ a_{k+2}>a_{k+1}\cdot r>a_k\cdot r^2\\ a_{k+3}>a_{k+2}\cdot r>a_k\cdot r^3\end{array}$$

באופן כללי, ניתן לקבל באינדוקציה כי $a_{k+m}>a_k\cdot r^m$ לכל $m\ge 1$ .

$\{a_k\cdot r^m{\}}_{m=1}^{\mathrm{\infty }}$ היא סדרה הנדסית עם מנה $r>1$ ולכן היא שואפת לאינסוף. לכן מאי־השוויון לעיל נובע כי $a_{k+m}\to \mathrm{\infty }$ .

לכן $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=\mathrm{\infty }$ .

$◼$