הסתברות/משתנים מקריים/משתנים מקריים רציפים

תבנית:הסתברות משתנה מקרי הוא משתנה מקרי רציף אם קבוצת הערכים שהוא יכול לקבל היא קטע רציף (סופי או אינסופי) על ציר המספרים.

הגדרה

לדוגמה, אם בוחרים מספר כלשהו בין 0 ל-1 באופן מקרי, אז המספר הוא משתנה מקרי רציף.

בשלב זה אפשר לשים לב להבדל עקרוני בין מ"מ בדידים לרציפים, והוא שלרוב, תוצאתו של מ"מ רציף הוא משהו שהסתברותו אפס.

תבנית:מבנה תבנית

תבנית:שימו לב

תבנית:מבנה תבנית

פונקציית ההתפלגות (הצטברות ההסתברות)

מהסיבה שהוזכרה לעיל, לרוב אין הרבה משמעות בשאלה מהו $\mathbb{P}(X=x)$ עבור מ"מ רציף: התשובה לרוב היא 0. עם זאת, יש לרוב משמעות לשאלה מהו $\mathbb{P}(X<x)$, כלומר מה ההסתברות שתוצאת המ"מ הרציף היא לכל היותר מספר כלשהו.

תבנית:מבנה תבנית

הגדרה זו דומה להגדרה המקבילה עבור מ"מ בדיד.

תכונות

תחום פונקציית ההתפלגות הוא כמובן $0\le F_X(x)\le 1,\mathrm{\forall }x\in ℝ$.

בנוסף, יש לה מספר תכונות.

אם נמשיך הגיון זה, נגיע למשפט הבא. תבנית:משפט

אפשר גם לראות שההתפלגות היא פונקציה מונוטונית.

פונקציית צפיפות ההסתברות

אינטואיטיבית, פונקציית הצפיפות היא ההסתברות שתוצאת המשתנה המקרי תהיה "בערך" משהו.

תכונות

ראשית, עפ"י ההגדרה, נקבל את התכונה הבאה. תבנית:משפט

נשים לב שלפי חדו"א, בחלקים בהם $f$ רציפה, נקבל כי עבור $\mathrm{\Delta }x$ קטן,

$\mathbb{P}(x\le X\le x+\mathrm{\Delta }x)=\underset{x}{\overset{x+\mathrm{\Delta }x}{\int }}{f}_X(x)dx\simeq f_X(x)\underset{x}{\overset{x+\mathrm{\Delta }x}{\int }}dx=f_X(x){\mathrm{\Delta }}_x$

ולכן אפשר לחשוב אינטואיטיבית ש-$f(x)dx\simeq \mathbb{P}(x\le X\le x+dx)$. אינטואיטיבית ניתן להסתכל על פונקציית הצפיפות כפונקציית שכיחות(היסטוגרמה) מנורמלת.