מבנים אלגבריים/חבורות/תת חבורות נורמאליות
תבנית:מבנים אלגבריים באחד הפרקים הקודמים דיברנו על מחלקות של ח"ח ועל כך שבאיזשהו מובן, המחלקות "מחלקות" את החבורה ועל עיקרון זה בעצם נשען משפט לגרנז' שהוכח בפרק הנ"ל. כעת עולה שאלה חשובה, לאחר ש"חילקנו" את החבורה, האם נוכל להשרות מבנה של חבורה על החלקים החדשים שנוצרו? כמובן שסתם חבורה לא תספיק ונרצה חבורה שיהיה לה קשר כלשהו עם המבנה שהתחלנו איתו והמבנה של הח"ח שהשתמשנו בה.
על השאלה לעיל נענה בהרחבה בפרק הבא, ובפרק זה ניתן אפיון מעניין של ח"ח מסוימות שהן, כפי שיתברר, החבורות החלקיות הנחוצות כדי לבצע את ה"חלוקה" בצורה כזו שהשאלה לעיל תיענה בחיוב.
הגדרה של ח"ח נורמאלית ודוגמאות
קל להיווכח שכל חבורה היא חח"נ (חבורה חלקית נורמאלית) של עצמה וכן לגבי החבורה החלקית שמכילה את האיבר הניטרלי בלבד.
ההוכחה למשפט הנ"ל מאוד קלה ומומלץ לקורא לנסות להוכיח אותה לבד מבלי להסתכל על ההוכחה המובאת למטה.
מאפיינים אלו שימושיים מאוד בהוכחה שח"ח מסויימת היא נורמאלית, אנחנו נראה את השימושים הרבים שיש לחח"נ בהמשך הספר, ובכלל, חשוב שהקורא ישים לב שהוא מבין היטב את ההגדרות ואת המשפט לעיל, שכן מעתה ואיך נשתמש באחד האפיונים של חח"נ מבלי לציין זאת באופן ספציפי.
כמו כן, ראוי לציין שאין אלו האפיונים היחידים לחח"נ, ובהמשך נראה שיש עוד דרכים רבות להגדיר חבורה חלקית נורמאלית ורובן חשובות מאוד ומפתיעות.
טענות בסיסיות הנוגעות לח"ח נורמאליות
חבורות פשוטות
היות ותת-חבורות נורמאליות הן מעין אבני הבניין שמרכיבים את החבורות (נראה את זה באופן מדויק יותר בפרקים הבאים על מרחבי מנה ומשפטי סילו), נרצה לתת שם מיוחד לאותן חבורות שלא ניתן "לפרק" אותן.
דוגמאות
- החבורה היא חבורה פשוטה, שכן התת-חבורה היחידה שלה היא החבורה הטריביאלית, לכן אין לה תת-חבורות לא טריביאליות, ובפרט אין לה ח"ח לא טריביאליות נורמאליות.
- אנטי דוגמה: החבורה היא לא חבורה פשוטה כי ח"ח לא טריביאלית שלה, ומאבליות של נקבל שהיא ח"ח נורמאלית.
קומוטטורים
הגדרה
תבנית:מבנה תבנית באופן אינטואטיבי, הקומוטטור נותן לנו מושג על עד כמה שני האיברים מתחלפים.
מומלץ לקורא לנסות להוכיח את הטענות הללו לבד לשם תרגול של החומר וההגדרות.
תת-חבורת הקומוטטורים (החבורה הנגזרת)
הסדרה הנגזרת
המרכז של חבורה והמנמרל והממרכז (סנטרלייזר) של איבר בחבורה
בסעיף זה אנחנו נחקור עד כמה החבורה היא חילופית (או לא) ועד כמה האיברים בחבורה הם חילופיים (או לא). נתחיל את העבודה במספר הגדרות: