מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/מספרים מרוכבים/המשפט היסודי של האלגברה

לכל פולינום לא קבוע בעל מקדמים מרוכבים קיים לפחות שורש מרוכב אחד.

בנוסף, מספר שורשי הפולינום (עם ריבוי) שוה למעלת הפולינום.

הוכחה

יהי פולינום לא קבוע

$p(z)=a_n{z}^n+a_{n-1}{z}^{n-1}+\cdots +a_{1}z+a_0(a_n\ne 0)$

אזי מתקיים $\underset{z\to \mathrm{\infty }}{\lim }|p(z)|=\mathrm{\infty }$. מאחר שהפונקציה $|p(z)|$ רציפה, קיים $z_0\in ℂ$ כלשהוא עבורו $|p(z_0)|=\underset{z\in ℂ}{\min }|p(z)|$.

כעת ניתן לרשום $p(z)=p(z_0)+(z-z_0{)}^{m}q(z)$, כאשר $m\in \mathbb{N}$ ו־$q(z)$ פולינום המקיים $q(z_0)\ne 0$.

יהי $\overline{p(z_0)}$ הצמוד המרוכב של $p(z_0)$. אזי לכל $z\in ℂ$ מתקיים:

$\begin{array}{c}|p(z_0){|}^2\le |p(z){|}^2=|p(z_0){|}^2+|z-z_0{|}^{2m}|q(z){|}^2+2\text{Re}[\overline{p(z_0)}(z-z_0{)}^{m}q(z)]\\ |z-z_0{|}^{2m}|q(z){|}^2+2\text{Re}[\overline{p(z_0)}(z-z_0{)}^{m}q(z)]\ge 0\end{array}$

כעת נציב $z=z_0+r{e}^{\theta i}$, כאשר $r>0$:

$\begin{array}{c}{r}^{2m}|q(z_0+r{e}^{\theta i}){|}^2+2\text{Re}[\overline{p(z_0)}{r}^m{e}^{m\theta i}q(z_0+r{e}^{\theta i})]\ge 0\\ r^m|q(z_0+r{e}^{\theta i}){|}^2+2\text{Re}[\overline{p(z_0)}q(z_0+r{e}^{\theta i})e^{m\theta i}]\ge 0\end{array}$

נחשב את הגבול כאשר $r\to 0^{+}$:

$\text{Re}[\overline{p(z_0)}q(z_0)e^{m\theta i}]\ge 0$

נסמן $c=\overline{p(z_0)}q(z_0)$ וכן נסמן $\omega =\text{cis}\left(\frac{\pi }{2m}\right)$.

נציב $e^{\theta i}=1,\omega ,{\omega }^2,{\omega }^3$ באי־שוויון, וממשפט דה-מואבר נקבל כי

$\begin{array}{cc}& \text{Re}(\pm c)=\pm \text{Re}(c)\ge 0\\ & \text{Re}(\pm ci)=\mp \text{Im}(c)\ge 0\end{array}$

לכן $\text{Re}(c)=\text{Im}(c)=0$ ומכאן $\overline{p(z_0)}q(z_0)=0$.

מההנחה $q(z_0)\ne 0$ נקבל כי $\overline{p(z_0)}=p(z_0)=0$.

$◼$