הצגת המקור של הדף "מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/סדרות/סדרות חשבוניות"

==הגדרה==
סדרה חשבונית היא רצף של מספרים (<math>a_1, a_2, a_3, a_4...</math>) שלהם '''הפרש (<math>d</math>)''' קבוע. למשל:
*<math>1,2,3,\dots</math> היא סדרה חשבונית שאיברה הראשון (<math>a_1</math>) הוא <math>1</math> וההפרש בה הוא גם <math>1</math>.
*<math>4,4,4,\dots</math> היא סדרה חשבונית שאיברה הראשון (<math>a_1</math>) הוא <math>4</math> וההפרש בה הוא 0.
*<math>2,5,8,\dots</math> היא סדרה חשבונית שאיברה הראשון (<math>a_1</math>) הוא <math>2</math> וההפרש בה הוא 3.

===סדרה עולה ויורדת===
# סדרה עולה - סדרה לה הפרש חיובי. 
# סדרה יורדת - סדרה לה הפרש שלילי.

===אברי הסדרה===
בשל הגדרת הסדרה החשבונית נוכל לבטא את רצף האיברים גם כך: <math>a_3=a_1+2d</math>, <math>a_4=a_1+3d</math>, <math>a_2=a_1+d</math> וכן הלאה. 

כל אברי הסדרה, פרט לראשון שווים לממוצע של שני האברים הסמוכים לו, למשל אם נחשב את האיבר השני בדומה הראשונה לעיל נבצע <math>\frac{a_1+a_3}{2}</math> ונקבל <math>\frac{1+3}{2}=\frac{4}{2}=2</math>

==האיבר הכללי==
"האיבר הכללי" הוא למעשה תבנית שבאמצעותה ניתן לגלות את מספרי הסדרה על ידי הצבה '''מיקום המספר (<math>n</math>)''' המבוקש בסדרה (דהיינו אם הוא <math>a_1</math> נציב <math>n=1</math> וכן הלאה). 

'''נוסחת האיבר הכללי:''' <math>a_n=a_1+(n-1)d</math> ([[מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/סדרות/סדרות חשבוניות/הוכחות|הוכחה]])

לפי הנוסחא אם ידועים לנו <math>d</math> ו- <math>a_1</math> של סדרה נוכל למצוא את איבר הכללי
{{דוגמה|
מספר=1|
שם=מציאת האיבר על פי מיקומו בעזרת הנוסחה הכללית|
תוכן= נתונה סדרה חשבונית ש-<math>a_1=5</math> והפרשה <math>7</math>. מצא את <math>a_15</math>

נוסחת האיבר הכללי: <math>a_n=a_1+(n-1)d</math>

נציב את <math>a_1=5</math> ו-<math>d=7</math> נקבל  <math>a_n=5+(n-1)7</math>

לאחר שמצאנו את הנוסחה הכללית לסדרה נציב <math>n=5</math> בכדי למצוא את האיבר במקום ה-<math>5</math> ונקבל <math>a_5=5+(5-1)7=5+28=33</math>

}}{{דוגמה|
מספר=2|
שם=מציאת הנוסחה הכללית באמצעות הנתונים|
תוכן= נתונה הסדרה חשבונית <math>2,4,6,8...</math>. מצא את מיקום האיבר ה- <math>a_n=64</math>

נתון כי <math>a_1=2</math> וכמו גם <math>d=a_2-a_1=4-2=2</math> ניצב בנוסחת האיבר הכללי: <math>a_n=a_1+(n-1)d</math>

נקבל <math>a_n=2+(n-1)2</math> עתה נציב <math>a_n=64</math> בנוסחה <math>2+(n-1)2=64</math>

נפתח <math>2+2n-2=64</math> ונצמצם <math>2n=64</math>

פתרון מיקום האיבר הוא <math>n=32</math>
}}
{{דוגמה|
מספר=3|
שם=מציאת נוסחת האיבר הכללי באמצעות סכום |
תוכן= באיבר חשבונית סכום האיברים החמישי והשישי הוא 20 וסכום האיבר האיבר השמיני והתשיעי הוא 32. מצא את נוסחת האיבר הכללי

<math>a_5+a_6=20</math> וכן גם <math>a_8+a_9=32</math>

נביע את האיברים באמצעות <math>a_1</math>:
* <math>a_5=a_1+4d</math>
* <math>a_6=a_1+5d</math>
* <math>a_8=a_1+7d</math>
* <math>a_9=a_1+8d</math>

על כן 
<math>
\begin{cases}
a_1+4d+a_1+5d=20\\
a_1+7d+a_1+8d=32\\
\end{cases}
</math>

נקבל 
<math>
\begin{cases}
2a_1+9d=20\\
2a_1+15d=32\\
----\\
-6d=-12\\
d=2
\end{cases}
</math>

כמו גם נמצא כי- <math>a_1=1</math>. עתה נציב בנוסחה הכללית ונקבל <math>a_n=1+(n-1)2</math>
}}


{{דוגמה|
מספר=5|
שם=מציאת סדרה חשבונית |
תוכן= מצא לאלו ערכי <math>x</math> מהווה הסדרה <math>x^2, 2x, 4</math> סדרה חשבונית.

שתי דרכים לפתרון התרגיל באמצעות:
# ממוצע של אברים כפי שהוסבר בראשית האיבר האמצעי שווה לממוצע של האיבר לפניו ואחריו.  
# מציאת הפרש של אברים.

נפתור באמצעות הדרך השנייה כלומר <math>2x-x^2=d</math> וכן גם <math>4-2x=d</math>

נשווה את המשוואות ונקבל <math>4-2x=2x-x^2</math>

נצמצם  <math>x^2-4x+4=0</math>

<math>(x-2)^2=0</math> כלומר קבלנו פתרון יחיד לסדרה והוא <math>x=2</math>

נציב את הפתרון ונקבל את הסדרה: <math>4, 4, 4...</math>
}}

==נוסחת הנסיגה==
נוסחת נסיגה היא נוסחה שמגדירה סדרת איברים באופן רקורסיבי, לדוגמה בסדרה חשבונית <math>\ F_{n+1} = F_n+F_{n-1}</math>.
{{דוגמה|
מספר=4|
שם=מציאת נוסחת הנסיגה |
תוכן= נתונה הנוסחה הכללית לסדרה <math>an=2n+2</math> וכן גם <math>d=2</math>. הוכח את הסדרה בעזרת נוסחת הנסיגה. 

<math>a_{n+1}=a_n+2</math>
}}
{{דוגמה|
מספר=5|
שם=הוכחת סדרה כחשבונית |
תוכן=האיבר הכללי של סדרה הוא <math>a_n=2n+2</math> הוכח כי הסדרה חשבונית. 

בכדי להוכיח כי סדרה היא חשבונית עלינו להוכיח כי ההפרש בין איברי הוא קבוע דהינו <math>a_n-a_{n-1}=d</math> 

נמצא את <math>a_{n-1}=2(n-1)+2=2n</math>

עתה נבדוק האם ההפרש בין הנוסחה הכללית לאיבר הקודם היא קבוע: <math>a_n-a_{n-1}=2n+2-2n=2</math>
}}

==מספרים טבעים==
{{:מתמטיקה תיכונית/פתרונות לספרים/מתמטיקה (5 יחידות לימוד) חלק ב'-1 שאלון 035806/עמוד 97 סעיף 26}}

==מציאת אברים סמוכים==
{{:מתמטיקה תיכונית/פתרונות לספרים/אלגברה 4 ו-5 יחידות לימוד/עמוד 284 סעיף 32}}

==מציאת אברים חיובים או שלילים==
{{:מתמטיקה תיכונית/פתרונות לספרים/אלגברה 4 ו-5 יחידות לימוד/עמוד 282 סעיף 14}}

==בעיה מחיי היום יום==
{{:מתמטיקה תיכונית/פתרונות לספרים/מתמטיקה (5 יחידות לימוד) חלק ב'-1 שאלון 035806/עמוד 97 סעיף 22}}


{{תוכן|
|הפרק הקודם=[[מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/סדרות/מבוא|מבוא]]
|הפרק הנוכחי=סדרות חשבוניות
|תרגילים=[[מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/סדרות/סדרות חשבוניות/תרגילים|תרגילים]]
|הפרק הבא=[[מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/סדרות/סדרות הנדסיות|סדרות הנדסיות]]}}
[[קטגוריה:אלגברה תיכונית - סדרה חשבונית]]