הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/גבולות, סדרות ורציפות/רציפות/משפט ערך הביניים

משפט

תהי $f:[a,b]\to ℝ$ פונקציה רציפה. יהי $y$ מספר ממשי עבורו $f(a)<y<f(b)$ או $f(a)>y>f(b)$ .

אזי קיים $c\in (a,b)$ עבורו $f(c)=y$ .

הוכחה באמצעות הגדרת קבוצה (1)

נניח ללא הגבלת הכלליות כי עבור $f(a)<y<f(b)$ אנו רוצים למצוא מספר $c\in (a,b)$ עבורו $f(c)=y$ .

נגדיר קבוצה $A=\{x\in [a,b]:f(x)<y\}$ .

$a\in A$ ולכן זוהי קבוצה לא־ריקה, $b$ חסם מלעיל שלה. על־פי אקסיומת השלמות של המספרים הממשיים יש לה חסם עליון $c$ . נוכיח כי $f(c)=y$ .

• נניח $f(c)>y$ . מהרציפות נובע שבפרט עבור $\epsilon =f(c)-y$ קיים $\delta >0$ כך שלכל $|x-c|<\delta$ מתקיים

$$\begin{array}{c}|f(x)-f(c)|<f(c)-y\\ \\ y<f(x)<2f(c)-y\end{array}$$

אך לכל $x\in (c-\delta ,c)$ מתקיים $x\in A$ . סתירה.

• נניח $f(c)<y$ . באופן דומה נובע שבפרט עבור $\epsilon =y-f(c)$ קיים $\delta >0$ כך שלכל $|x-c|<\delta$ מתקיים

$$\begin{array}{c}|f(x)-f(c)|<y-f(c)\\ \\ 2f(c)-y<f(x)<y\end{array}$$

אך לכל $x\in (c,c+\delta )$ מתקיים $x\notin A$ . סתירה.

לכן $f(c)=y$ .

$◼$

הוכחה באמצעות הגדרת קבוצה (2)

הוכחה זו כמעט זהה לקודמתה, אך ניסוחה מסובך יותר.

נניח ללא הגבלת הכלליות כי עבור $f(a)<y<f(b)$ אנו רוצים למצוא מספר $c\in (a,b)$ עבורו $f(c)=y$ .

נגדיר קבוצה $A=\{x\in [a,b]:f(x)<y\}$ .

$a\in A$ ולכן זוהי קבוצה לא־ריקה, $b$ חסם מלעיל שלה. על־פי אקסיומת השלמות של המספרים הממשיים יש לה חסם עליון $c$ . נוכיח כי $f(c)=y$ .

מרציפות $f$ נובע שלכל $\epsilon >0$ קיים $\delta >0$ כך שלכל $|x-c|<\delta$ מתקיים $|f(x)-f(c)|<\epsilon$ . כלומר

$$f(x)-\epsilon <f(c)<f(x)+\epsilon$$

• בכל סביבה $(c-\delta ,c)$ יש אבר של $A$ . בפרט קיים בסביבה זו $x_1\in A$ עבורו

$$\begin{array}{c}f(x_1)-\epsilon <f(c)<f(x_1)+\epsilon \\ \\ x_1\in A\Rightarrow f(x_1)<y\Rightarrow f(x_1)+\epsilon <y+\epsilon \\ \\ f(x_1)-\epsilon <f(c)<f(x_1)+\epsilon <y+\epsilon \end{array}$$

• בכל סביבה $(c,c+\delta )$ אין אבר של $A$ . בפרט קיים בסביבה זו $x_2\notin A$ עבורו

$$\begin{array}{c}f(x_2)-\epsilon <f(c)<f(x_2)+\epsilon \\ \\ x_2\notin A\Rightarrow f(x_2)\ge y\Rightarrow f(x_2)-\epsilon \ge y-\epsilon \\ \\ y-\epsilon \le f(x_2)-\epsilon <f(c)<f(x_2)+\epsilon \end{array}$$

עקב התנאים הנ"ל מתקיים על־פי כלל הסנדוויץ'

$$y-\epsilon <f(c)<y+\epsilon$$

לכן $f(c)=y$ כמבוקש.

$◼$

הוכחה באמצעות חציה לקטעים

אם $f(a)=f(b)$ , אז ההוכחה גמורה מכיון ש- $y$ האפשרי היחיד הוא $f(a)$ (או $f(b)$) המתקבל בנקודות $x=a,x=b$ . אזי, נניח $f(a)<f(b)$ .

נגדיר את פונקצית העזר הבאה: $g(x)=f(x)-y$ . נשים לב כי מתקיים $g(a)<0$ וכן $g(b)>0$ . תהי $m=\frac{a+b}{2}$ . קיימות שלוש אפשרויות:

א) $f(m)=y\Leftarrow g(m)=0$ וסיימנו.

ב) $g(m)>0$ ואז נתבונן בקטע $[a_1,b_1]=[a,\frac{a+b}{2}]$

ג) $g(m)<0$ ואז נתבונן בקטע $[a_1,b_1]=[\frac{a+b}{2},b]$

בשני המקרים האחרונים מתקיים $g(a_1)\cdot g(b_1)<0$ ו- $a_1\ge a$ ו- $b_1\le b$ .

נמשיך ע"י חציית הקטעים באופן דומה. בשלב ה-$n$-י נתון הקטע $[a_n,b_n]$ כך ש- $g(a_n)\cdot g(b_n)<0$ ואנו בוחרים בנקודה $m_n=\frac{a_n+b_n}{2}$ וכדומה.

אם התהליך נעצר בשלב סופי, כלומר קיים $n$ כך ש- $g(m_n)=0$ אז סיימנו כי אז $f(m_n)=y$ . אחרת, בנינו סדרות המקיימות:

• $\{a_n\}$ סדרה מונוטונית עולה שחסומה מלעיל ע"י $b_1=b$ ולכן מתכנסת לנקודה שנסמנה $x_a$ .
• $\{b_n\}$ סדרה מונוטונית יורדת שחסומה מלרע ע"י $a_1=a$ ולכן מתכנסת לנקודה שנסמנה $x_b$ .

באופן שמתקיים $a_n\le a_{n+1}<b_{n+1}\le b_n$ .

נשים לב, שאופיו של תהליך החציה שלנו בקטע הנתון מקיים: $$0\le b_n-a_n=\frac{b-a}{2^n}$$ הסדרה השמאלית היא סדרה קבועה שמתכנסת ל-0. הסדרה הימנית גם כן מתכנסת ל-0. הסדרה האמצעית מתכנסת ל- $x_b-x_a$ עפ"י החוק להפרש גבולות. לכן, נובע מכלל הסנדוויץ' כי $x_b-x_a$ הוא ביטוי אשר מתכנס ל-0. לפיכך, $x_b=x_a$ ונסמן גבול זה $x_0$ .

(הערה: לחילופין, היינו יכולים להשתמש בלמה של קנטור כדי להראות שהסדרות מתכנסות ולאותו הגבול)

נתבונן בסדרות $\{g(a_n)\},\{g(b_n)\}$ תבנית:כ. $g$ היא פונקציה רציפה כהפרש של פונקציות רציפות ו- $\{a_n\}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}{x}_0$ , לכן $\{g(a_n)\}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}g(x_0)$ . באופן דומה $\{g(b_n)\}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}g(x_0)$ .

מאחר ו- $g(a_n)\cdot g(b_n)<0$ לכל $n$ והסדרות $\{g(a_n)\},\{g(b_n)\}$ מתכנסות, אזי נובע מהמשפט מונטוניות של גבולות כי

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }[g(a_n)\cdot g(b_n)]\le 0$$

מאידך גיסא, עפ"י החוק למכפלת גבולות, מקבלים כי:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }[g(a_n)\cdot g(b_n)]=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }g(a_n)\cdot \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }g(b_n)=g(x_0)\cdot g(x_0)=g(x_0{)}^2$$

קיבלנו כי $g(x_0{)}^2\le 0$ וזה נכון אם ורק אם $g(x_0)=0$ כמבוקש. $◼$